Контрольная работа по "Финансовой математике"

Задание 1. Сумма вклада составляет 1000 ден. ед. Вклад размещен под 11% годовых под простые проценты.

а) Найти сумму, причитающуюся в качестве процентов по вкладу, и наращенную сумму. Определите, через сколько лет сумма вклада удвоится.

б) Договор предусматривает 11% за первый квартал, а на каждый следующий – на 0,5% меньше, чем в предыдущий. Найти наращенную за год сумму.

Решение:

а) Наращенная сумма вклада определяется по формуле:

[pic 1]

где FV – наращенная сумма по вкладу;

       PV – сумма вклада на текущий момент;

       r – годовая процентная ставка в долях единицы;

       n – срок вклада в годах.

[pic 2]

Проценты по вкладу определяются как разность между наращенной и текущей суммой вклада:

I = FV – PV = 1110 – 1000 = 110 ден. ед.

Срок вклада можно определить по формуле:

[pic 3]

Поскольку сумма вклада должна удвоиться, то

[pic 4]

б) Если в договоре предусматривается дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки, то формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид:

,[pic 5]

где ri – ставка простых процентов в i-м периоде;

      ni - продолжительность периода с уровнем ставки ri.

В нашем случае период составляет квартал, т.е. изменения будут происходить 4 раза.

Определим множитель наращения за весь срок договора (за год):

[pic 6]

Тогда наращенная сумма за год составит:

FV = 1000*1,1025 = 1102,5 ден. ед.

Ответ: сумма процентов по вкладу составит 110 ден. ед., наращенная сумма через год составит 1110 ден. ед., сумма вклада удвоится за 18 лет, при ежеквартальном сокращении процентной ставки на 0,5% наращенная сумма вклада составит через год 1102,5 ден. ед.

Задание 2. Г-н N положил 12000 руб. на свой счет в банке 2 года назад. Сколько ему нужно добавить сегодня, чтобы через 3 года у него накопилось 90 тыс. руб., если ставка банка на вклады 10% годовых.

Решение:

Определим наращенную сумму по вкладу на сегодня по формуле:

,[pic 7]

где FV – наращенная сумма по вкладу;

       PV – сумма вклада на момент его открытия;

       r – годовая процентная ставка в долях единицы;

       n – срок вклада в годах.

[pic 8]

Определим приведенную сумму на сегодня, исходя из будущей желаемой суммы вклада по формуле:

[pic 9]

[pic 10]

Тогда г-ну N сегодня необходимо добавить недостающую сумму

V = 67618 – 14520 = 53098 руб.

Ответ: для накопления нужной суммы г-ну N сегодня необходимо добавить 53098 руб.

Задание 3. Найти наращенную сумму ренты, если годовая сумма платежа составляет 10005 ден. ед., годовая процентная ставка 11%, срок ренты 11 лет, если рента: а) обычная, годовая, б) годовая, с начислениями 25 раз в год, в) Р - срочная при ежегодном начислении процентов (р=11); г) р - срочная с начислениями m раз в году, срок начисления процентов совпадает со сроком поступлений платежа.

Решение:

а) обычная, годовая

[pic 11]

где    S – наращенная сумма ренты;

R – сумма взноса;

i – годовая процентная ставка;

n – количество лет.

[pic 12]

б) годовая, с начислениями 25 раз в год

[pic 13]

где      j – номинальная процентная ставка (годовая);

m – количество начислений процентов в году.

[pic 14]

в) Р - срочная при ежегодном начислении процентов (р=11)

[pic 15]

[pic 16]

г) р - срочная с начислениями m раз в году, срок начисления процентов совпадает со сроком поступлений платежа

[pic 17]

[pic 18]

Ответ: с возрастанием количества начислений процентов наращенная сумма ренты возрастает.

Задание 4. Найти современную величину ренты-суммы для двух годовых рент: первая длительностью 15 лет с годовым платежом 10006, вторая длительностью 14 лет с годовым платежом 10005. Годовая процентная ставка 11%.

а) Для ренты-суммы определить длительность, если годовой платеж равен 100011, годовая процентная ставка 14%.

б) Для ренты-суммы определить годовую процентную ставку, если годовой платеж составит 100011, длительность 16 лет.

Решение:

Современная величина ренты определяется по формуле:

[pic 19]