Метод конечных разностей решения краевой задачи для уравнения теплопроводности

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Оренбургский государственный университет»

Финансово-экономический факультет

Кафедра математических методов и моделей в экономике

ОТЧЁТ

по дисциплине

Краевые задачи для дифференциальных уравнений и численные методы их решения

Метод конечных разностей решения краевой задачи для уравнения теплопроводности

ОГУ

Руководитель работы:

доцент кафедры ММиМЭ,

кандидат экон.наук

____________А.В.Раменская

«___»______________20__г.

                                                     Исполнитель:

 Студент гр. 21ПМ(б)ПММ

___________И.Д. Дусаев   «____»_______________20__г.

Оренбург 2023

Постановка задачи

Определить нестационарное температурное поле бесконечной пластины толщиной l, описываемое краевой задачей:

[pic 1],                                                 (1)

удовлетворяющее начальному

[pic 2]                                        (2)

и граничным условиям

[pic 3];                                (3)

[pic 4].                                        (4)

Рассматривая полученную в п. 2 задания 2 краевую задачу как модельную, отладить на ней процедуру решения задачи МКР. Шаг разбиения выбрать по правилу Рунге так, чтобы выполнялось условие [pic 5] при численном решении краевой задачи на слое t = ti. Предусмотреть завершение вычислительного процесса при установлении в пластине стационарного распределения температуры в момент времени t = ti+1 = Т. В качестве критерия окончания работы программы принять условие

[pic 6].

Результаты точного и приближенного решений модельной задачи оформить в виде таблиц.

Даны значения:

[pic 7]

Начальное условие имеет вид:

[pic 8] [pic 9]

Краткие теоретические сведения

Пусть в области  требуется найти решение  линейного уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами[pic 10][pic 11]

[pic 12]

удовлетворяющее начальному

[pic 13]

 и граничным условиям

[pic 14]

[pic 15]

Для численного решения краевой задачи (1) – (4) методом конечных разностей построим в полуполосе  два семейства параллельных прямых[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

 где  – шаг по переменной x; τ – шаг по переменной t. Точки, лежащие на пересечении прямых, образуют множество узлов с координатами , где , . Граничные узлы расположены на прямых , все остальные узлы – внутренние. Множество всех узлов в области Ω задается сеткой: [pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

[pic 24]

Обозначим приближенные значения искомой функции в узле ( ) через . Аппроксимируем производную по времени разностным соотношением[pic 25][pic 26]

[pic 27]

 Вторую производную по координате  можно аппроксимировать на  временном слое  или на временном слое : [pic 28][pic 29][pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

Обобщая, производную  во внутренних узлах можно аппроксимировать линейной комбинацией (6) и (7), [pic 33]

[pic 34]

причем σ ∈[0,1]. После подстановки соотношений (5) – (8) в уравнение (1) и несложных преобразований получаются следующие разностные аппроксимации уравнения теплопроводности:

[pic 35]

где . Соотношение (9) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых значений на (i+1) временном слое. Однако эта система незамкнутая, т. к. неизвестны значения  и . Они определяются из разностной аппроксимации граничных условий [pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]