Шпаргалка по "Прикладной математике"

Примерные вопросы к экзамену

1 Абсолютная и относительная погрешности.

Абсолютной погрешностью некоторой величины называется взятая по модулю разность между ее точным A, и приближенным а числовыми значениями ∆a=| A- a|                                      (1)

Если х  верно в написанных знаках, то абсолютная погрешность x не может превышать единицы младшего разряда, которому принадлежит верная цифра. абсолютную погрешность не следует записывать более, чем с двумя-тремя значащими цифрами (абсолютные погрешности при отбрасывании «лишних» знаков можно только увеличивать!).

Относительной погрешностью некоторой величины называетсяn выраженное в процентах отношение ее абсолютной погрешности к модулю приближенного числового значения

δ a = ∆a/| a|*100%, |a| ≠0          (2)

Относительная погрешность имеет столько же знаков, что и относительная

Абсолютная погрешность функции u =u (x1 x2….. xn) нескольких приближенно заданных переменных x1 x2 , ,...,xn, имеющих соответствующие абсолютные погрешности  ∆1∆ 2, ,..., ∆n, вычисляется по формуле:

∆  u = | ∂u/∂x1|*∆ x1+ |∂ u //∂x2|*∆  x 2+...+ |∂ u //∂xn|*∆  xn

2 Значащие цифры и верные знаки приближенного числа.

Значащими цифрами числа называются все его цифры в десятичном изображении, кроме нулей слева. Например, у числа 1030,50 все цифры значащие, а у числа 0,0103050 только подчеркнутые цифры являются  значащими.

Значащая цифра приближенного числа называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит единицы десятичного разряда, которому принадлежит рассматриваемая цифра.

.

3 Прямая и обратная задачи теории погрешностей.

4 Особенности машинной арифметики.

5 Решение нелинейных уравнений.

Чтобы найти с заданной точностью (абсолютной погрешностью) ε за

конечное число операций корни уравнения

f (x) = 0 . (1)

сначала проводят процедуру их отделения ,используя следующие простое

предложение. Если выполняются условия:

а) функция f (x) непрерывна на отрезке x∈[a,b] ,

б) функция f (x) строго монотонна на отрезке x∈[a,b] ,

в) на концах отрезка функция f (x) принимает значения разных знаков,

т. е. f (a) ⋅ f (b) • 0, то на отрезке [a,b] уравнение (1) имеет единственный

корень.

Затем для уточнения отделенных корней используют метод

бисекции (метод половинного деления отрезка), метод простой итерации,

метод Ньютона (метод касательных) и др.

Опишем коротко эти наиболее распространенные методы.

6 Теорема о существовании и единственного корня уравнения на отрезке.

7 Способы локализации корней. Интервал неопределенности корня и способ его оценки.

8 Обусловленность задачи о нахождении корня уравнения.

9 Способ определение числа обусловленности корня нелинейного уравнения по отношению к параметру уравнения.