Шпаргалка по "Математике"

1)Обратная матрица. Критерий существования.Метод нахождения.

1.Обратная матрица — такая матрица A−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E: AA-1=A-1A=E

2.Обратная матрица может существовать только для квадратной матрицы. Является той же размерности, что и исходная матрица. Чтобы квадратная матрица имела обратную, она должна быть невырожденной (т.е.  Δ ≠0 ). Это условие является и достаточным для существования  A-1 матрице А.

3.Нахождение: 1. Находим определитель матрицы. Если Δ ≠0, то матрица A-1 существует.  2. Составим матрицу В алгебраических дополнений элементов исходной матрицы А. Т.е. в матрице В элементом i - ой строки и j - го столбца будет алгебраическое дополнение Aij  элемента  aij исходной матрицы.  3. Транспонируем матрицу В и получим BT.

30) Неопределенный интеграл. Свойства.

1.Неопределённый интеграл для функции f(x)  — это совокупность всех первообразных данной функции.Если функцияf(x) определена и непрерывна на промежутке (a,b)  и F(x) — её первообразная, то естьF’(x)=f(x)  приa<x<b , то∫f(x)dx=F(x)+C, a<x<b ,где С — произвольная постоянная.

2.Основные свойства неопределённого интеграла:1.Если функция   f  (  x  ) имеет первообразную на промежутке   X, и   k – число, то ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx. 2. Если функции   f(x)  и   g(x) имеют первообразные на промежутке   X , то ∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx

3.Если функция   f  (  x ) имеет первообразную на промежутке  X , то для внутренних точек этого промежутка:  (∫f(x)dx)’=f(x)

4.Если  функция  f ( x )  непрерывна на промежутке  X  и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то:  ∫dF(x)=f(x)+C

5.Инвариантность формулы интегрирования .Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то и (∫f(u)du=F(u)+C, где u=ϕ (x)- произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

2) Определитель матрицы n-го порядка.Свойства.

1. Вычисление детерминанта для матрицы порядка N–это вычисление определителей высоких порядков на основе определителей низших порядков .Этот метод основан на свойстве разложения определитетеля по элементам некоторого ряда.
2. Свойства:

1.Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

2.При перестановке 2-х параллельных рядов определитель меняет знак .

3.Определитель, имеющий 2 одинаковых ряда, =0.

4.Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

5.Если элементы какого-либо ряда определителя представляют  собой суммы 2-х слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму 2-х соответствующих определителей.

6.Определитель не изменится, если к элементам  одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

7.Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические  дополнения .

8.Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов  параллельного ряда=0.

31)Метод интегрирования способом заменой переменной. Следствия

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования . При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Пусть x=ϕ(t),dx=ϕ’(t)dt => ∫f(x)dx=∫f(ϕ(t))*ϕ’(t)dt

3) Системы линейных алгебраических уравнений. Матричный метод и метод Крамера. Вывод.

1.Система содержащаяm уравнений с n неизвестными — это система уравнений вида, где числа aij, i=1,m, j=1,nназываются коэффицентам системы, числа bi- свободнымичленами.Подлежат нахождению числа xn. Такую  систему удобно записывать в компактной матричной форме:A*X=B, где X- вектор-столбец их неизвестных xj, A- основная матрица, B- вектор-столбец из свободных членов bi.

2.Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Совместная система вида  называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой. Решение системы- выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение. Система однородна если все свободные члены =0.