Шпаргалка по "Математике"

1)Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Свойства.

Говорят, числовые ряды являются бесконечными числовыми последовательностями. Бесконечной числовой последовательностью или просто последовательностью называется функция , определенное на множестве всех натуральных чисел. Значение последовательности  называются ее членами. Последовательности обозначаютсяЕсли продолжить последовательность , то легко заметить, что она убывает:  Говорят, что предел это числовой последовательности равен 0. Определение: число а называется пределом числовой последовательности, если  существует такой номер n зависящий от , начиная с которого для любого  выполняется неравенство - . Вычислить 1) 2) . При . 3)  Свойства числовой последовательности:  ,  2) , 3)  , 4) [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

2)Предел функции

Определение: число А называется пределом функции f(x)  в точке , если    . Для любого  существует такое число , что для любого х из множества Х из условия . Число А называется правым(левым) пределом функции f(x) в точке , если для любого [pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

Теорема. Функция f(x) имеет в точке  предел, тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы и они равны, т.е. предел функции равен односторонним пределам. [pic 26]

Примечание. Кроме рассмотренных понятий предела функции, при  при односторонних пределах, существуют также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности[pic 27]

Теорема. Пусть функция f(x) и h(x) определены в окрестности некоторой точки . За исключением быть может самой точки . Также функции f(x) и h(x) имеют в точке  предел А.[pic 28][pic 29][pic 30]

3)Раскрытие неопределенностей различных типов

Неопределенность вида , заданная отношением двух многочленов. Правило. Чтобы раскрыть неопределенность , заданную отношением двух многочленов надо и числитель, и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степень х. Неопределенность вида , заданная отношением двух многочленов. Правило. Чтобы раскрыть неопределенность вида ,заданную отношением 2х многочленов надо и в числителе, и в знаменателе выделить критический множитель (х-а) и сократить на него. Неопределенность вида , заданная иррациональными выражениями. Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель и знаменатель иррациональны, следует надлежащим образом избавится от иррациональности (например, домножить и числитель,и знаменатель на сопряженный множитель)[pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

4. Первый и второй замечательный пределы

Тригонометрические неопределенности вида . первый замечательный предел. Рассмотрим функцию  , при . Будем исходить из геометрического определения sin. Рассмотрим окружность радиусом r=1 и предположим, что угол, выраженные в радианах, заключен в границах , четная функция. Рассмотрим   , , ,  , Получаем, Функция , т.к. . В окрестности точки х=0 графики функций практически совпадают. - первый замечательный предел[pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]

Примеры:  , , , второй замечательный предел.  -второй замечательный предел[pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]

5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Определение:  Функция f(x) называется бесконечно малой функцией или просто бесконечно малой в точке x=x0 (или при xx0), если lim f(x)=0 при xx0. Аналогично определяются бесконечно малые функции x∞, x+∞, x-∞, xx0-, xx0+. Определение бесконечно малой функции на языке «Ɛ-Ϭ»: Функция f(x) называется бесконечно малой в точке x=x0, если для любого Ɛ>0 существует Ϭ>0, где xєX, x≠x0, удовлетворяет неравенству │x-x0│< Ϭ  => │f(x)│< Ɛ. Теорема: Для выполнения равенства lim f(x)=A при xx0  необходимо и достаточно, чтобы функция α(x)=f(x)-A была бесконечно малой функцией при xx0.Док-во:1)Необходимость. Дано: lim f(x)=A при xx0. Доказать: α(x)=f(x)-A-бесконечно малая функцияДок-во: Рассмотрим lim α(x)=lim (f(x)-A)=lim f(x)-lim A=A-A=0 при xx0 (по определению α(x)-бесконечно малая функция. 2)Достаточность. Дано: α(x)-бесконечно малая функция, α(x)=f(x)-A. Доказать: lim f(x)=A при xx0. Доказательство: f(x)= α(x)+A; lim f(x)=lim (α(x)+A)=lim α(x)+lim A=0+A=A при xx0, что и требовалось доказать. Теорема: Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при xx0, а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию является бесконечно малыми функциями при xx0.ЗАМЕЧАНИЕ: Все сказанное о бесконечно малых функциях при xx0 справедливо и для бесконечно малых функций при x∞, x+∞, x-∞, xx0-, xx0+. Определение: Функция f(x) называется бесконечно большой функцией в точке x=x0, если lim f(x)=∞ при xx0.На языке «Ɛ-Ϭ»:Функция f(x) называется бесконечно большой функцией или просто бесконечно большой в точке x=x0, если для любого Ɛ>0 существует Ϭ>0, где xєX, x≠x0: │x-x0│ < Ϭ  => │f(x)│> Ɛ. a)f(x)>Ɛ; lim f(x)=+∞ при xx0; b)f(x)<-Ɛ; lim f(x)=-∞ при xx0; Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.Правила сравнивания: Пусть дано α(x) и β(x)-бесконечно малые функции при xx0, тогда: 1)если lim =0 при xx0, то α(x) является бесконечно малой функцией более высокого предела, чем β(x) (также говорят, что α(x) имеет более высокий порядок малости, чем β(x) при xx0); 2)если lim =A≠0 при xx0 , где A-число, то α(x) и β(x)-бесконечно малые одного порядка; 3)если lim =1 при xx0, то  α(x) и β(x)-эквивалентные бесконечно малые функции (α(x)   ̴ β(x)); 4)если lim =A≠0 при xx0, то α(x)-бесконечно малая функция n-ого порядка относительно β(x). ЗАМЕЧАНИЕ:Существуют аналогичные сравнения бесконечно малых функций при x∞, x+∞, x-∞, xx0-, xx0+. Таблица эквивалентов бесконечно малых функций: 1)sinα   ̴ α, при α0; 2)tgα   ̴ α, при α0; 3)arcsinα   ̴ α, при α0;4)arctgα   ̴ α, при α0; 5)1-cosα   ̴ , при α0; 6)   ̴ α, при α0; 7)ln(α+1)   ̴ α, при α0;  8)   ̴ αlna, при α0;  9)   ̴ α, при α0, mєN. Примеры:1) =l=3; 2)==7/8. Сравнение бесконечно больших функций аналогично сравнению бесконечно малых функций:Примеры: 1)α(x)= и β(x)= при x0, где α(x) и β(x)-бесконечно большие функции. ==(1+x)=1, то α(x)   ̴ β(x)-бесконечно большие функции(эквивалентные). 2) α(x)=x2+4 и β(x)=x3-2 при x∞, где α(x) и β(x)- бесконечно большие функции ====0 . 1 случай: α(x) является бесконечно большой более низкого порядка, чем β(x) (α(x) имеет менее высокий порядок роста, чем β(x)); 3) α(x)=2x2+1 и β(x)=x2-1 при x∞, где α(x) и β(x)-бесконечно большие функции ==2. 2 случай:α(x) и β(x)-бесконечно большие функции одного порядка (α(x) и β(x) имеют одинаковый порядок роста); 4)α(x)=x4+x+1 и β(x)=(x2+1)2 при x∞, где α(x) и β(x)-бесконечно большие функции. ==1. α(x) является бесконечно большой второго порядка по отношению бесконечно большой β(x).[pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81][pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87][pic 88][pic 89][pic 90][pic 91][pic 92][pic 93][pic 94][pic 95][pic 96][pic 97][pic 98][pic 99][pic 100][pic 101][pic 102][pic 103][pic 104][pic 105][pic 106][pic 107][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111][pic 112][pic 113][pic 114][pic 115][pic 116][pic 117][pic 118][pic 119][pic 120][pic 121][pic 122][pic 123][pic 124][pic 125][pic 126][pic 127][pic 128]