Шпаргалка по "Математике"

1. Методика изучения аксиом стереометрии.

Введение аксиом стереометрии должно сопровождаться активным привлечением моделей, предметов окружающей обстановки, а также необходима тесная связь с разделом планиметрии. Введение первой аксиомы по учебнику Погорелова: Какова бы не была плоскость, Ǝ точки, ϵ этой плоскости, и точки, не ϵ ей. Теперь берут модель пирамиды. Взяв какую-нибудь плоскость, учитель может показать, какие точки ϵ этой плоскости, а какие нет. Поэтому, в качестве одного из основных свойств плоскости, принять эту аксиому. Аксиомы по Погорелову: 1) Ǝ точки, ϵ этой плоскости, и точки, не ϵ ей; 2) Если две прямые имеют общую точку, то ч/з них можно провести плоскость, и притом только одну; 3) Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей ч/з эту точку. Аксиомы по Атанасяну: 1) Ч/з три любые точки, не лежащих на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна; 2) Если 2 точки прямой лежат на одной плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости; 3) В любой плоскости пространства справедливы все аксиомы и теоремы планиметрии.

Схема введения аксиомы:

1. Иллюстрация аксиом на модели;
2. Формулировка аксиомы;
3. Схематический рисунок;
4. Символическая запись.

Желательно все основные понятия и аксиомы ввести на одном уроке.

1. Параллельность прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Доказательство признаков.

По учебнику Л. С. Атанасяна:

Определение : Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости, и не пересекаются.

Теорема о параллельных прямых: Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Док-во: Рассм. прямую a и точку М, не лежащую на этой прямой. Ч/з a и М проходит плоскость и притом только одна (обозначим α). Прямая проходящая ч/з М параллельно a, должна лежать в одной плоскости с М и a, т.е. должна лежать в α. Но в α, как известно из курса планиметрии, ч/з М проходит прямая, параллельная a, и притом только одна. Эта прямая обозначена буквой b. Итак, b – единственная прямая, проходящая ч/з точку М параллельно прямой a. Теорема доказана.

Параллельность трех прямых

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Теорема: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Док-во: Пусть a || c и b || c. Докажем, что a || b. Для этого нужно доказать, что прямые a и b 1) лежат в одной плоскости и 2) не пересекаются.

1. Отметим какую-нибудь точку К на прямой b и обозначим буквой α плоскость, проходящую ч/з а и К. Докажем, что b лежит в этой плоскости. Действительно, если допустить, что b пересекает α, то по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая c также пересекает α. Но так как a и c параллельны, то и a пересекает α, что невозможно, ибо прямая a лежит в α.
2. a и b не пересекаются, так как в противном случае ч/з точку их пересечения проходили бы две прямые (a и b), параллельные c, что невозможно. Теорема доказана.

Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.