Розв'язування нерівностей методом інтервалів

ПРОЕКТИ

З МЕТОДИКИ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ

Текстові задачі. Нерівності в основній школі. Функції, їх властивості. Перетворення графіків.

на ТЕМУ

«РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕРІВНОСТЕЙ МЕТОДОМ ІНТЕРВАЛІВ»

студента 31 групи

фізико-математичного факультету

ЖДУ імені Івана Франка

ДОЛГІЄРА ВЛАДИСЛАВА

Проект №1

Проект №2

Презентація – 35 балів

Тема. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕРІВНОСТЕЙ МЕТОДОМ ІНТЕРВАЛІВ

Методом інтервалів (іноді його називають також методом проміжків), називається метод вирішення нерівностей, заснований на дослідженні зміни знаків функції.

Нехай задана нерівність має вигляд: . Для вирішення цієї нерівності використовується метод інтервалів (метод проміжків), який полягає в наступному.[pic 1]

По-перше, на числову вісь наносять точки , розбиваючи її на проміжки, в яких вираз  визначено і зберігає знак («плюс» або «мінус»). Такими точками можуть бути корені рівняння  і . Відповідно цим корінням точки на числовій осі відзначають: зафарбованими кружками — точки, що задовольняють заданій нерівності, а світлими кружками — не відповідають їй.[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

По-друге, визначають та відмічають на числовій осі знак виразу   для значення , що належить кожному з отриманих проміжків. Якщо функції f і  є многочленами та не містять множників виду, де , то достатньо визначити знак функції  в будь-якому такому проміжку, а в інших проміжках знаки «плюс» і «мінус» будуть чергуватися.[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

Якщо ж у чисельнику або знаменнику дробу  є множник виду , де , то безпосередньою перевіркою з'ясовують, чи задовольняє значення  задану нерівність.[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

Зміну знаків зручно ілюструвати за допомогою хвилеподібної кривої (кривої знаків), проведеної через відмічені точки і лежачої вище або нижче числової осі у відповідності зі знаком дробу   у розглядуваному проміжку. Проміжки, які містять точки, що задовольняють даним нерівностям, іноді покривають штрихами. На ту ж вісь поміщають і точки, відповідні . Заштрихована область в сукупності з отриманими точками буде відповіддю до нерівності.[pic 17][pic 18]

[pic 19]

В основі методу інтервалів лежать наступні положення:

1. Знак добутку (частки) однозначно визначається знаками множників (діленого і дільника).
2. Знак добутку не зміняться (зміняться на протилежний), якщо змінити знак у парного (непарного) числа множників.
3. Знак многочлена праворуч від більшого (або єдиного) кореня збігається зі знаком його старшого коефіцієнта. У разі відсутності коренів знак многочлена збігається зі знаком його старшого коефіцієнта на всій області визначення.
4. Якщо строго зростаюча (спадна) функція має корінь, то праворуч від кореня вона позитивна (негативна) і при переході через корінь змінює знак.

Алгоритм розв’язування нерівності виду  методом інтервалів[pic 20]

1. Знайти область визначення функції .[pic 21]
2. Знайти нулі функції .[pic 22]
3. На числову пряму нанести область визначення і нулі функції. Нулі функції розбивають її область визначення на проміжки, в кожному з яких функція зберігає постійний знак.
4. Знайти знаки функції в отриманих проміжках, обчисливши значення функції в якій-небудь одній точці з кожного проміжку.
5. Записати відповідь.

РЕКОМЕНДУЄМО ПОВТОРИТИ

1. Що таке нерівність?

Нерівністю називають вираз, у якому будь-які дві функції поєднанні знаком нерівності: , , , . [pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

1. Що називається областю визначення нерівності?

Областю визначення  нерівності називають множину всіх значень невідомої змінної , на якій існують функції , . Тобто це спільна область визначення функцій  і .[pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

1. Що називається розв’язком нерівності?

Значення змінної , при яких нерівність виконується називається розв’язком нерівності. Сукупність (об’єднання) усіх розв’язків нерівності називається множиною її розв’язків, тобто множиною розв’язків нерівності. [pic 33]