Ітераційні методи розв’язування систем лінійних рівнянь. Метод Зейделя

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА КОМП’ЮТЕРНИХ НАУК

за результатами виконання лабораторної роботи №2

на тему «Ітераційні методи розв’язування систем лінійних рівнянь. Метод Зейделя.»

Виконав:                                                                студент гр.  

Перевірив:                                                        викладач

1. Постановка задачі

Методом Зейделя знайти розв’язок СЛАР з точністю ε = 10-4 . Вхідні дані оберіть з табл. 1 згідно варіанту.

[pic 1]

1. Математичне обґрунтування алгоритму

Метод Зейделя алгоритм методу складається з таких етапів:

Доведення існування єдиного розв’язку СЛАР

Перетворення системи рівнянь

Перевірка умови збіжності

Вибір початкового наближення

Рекурентна формула (рис. 1) 

[pic 2]

Рис.1

Реалізація ітерацій за рекурентною формулою (рис. 2)

[pic 3]

Рис.2

3 Пакетна реалізація методу

3.1 Доведення існування єдиного розв’язку СЛАР

Через детермінант за теоремою Кронекера-Капеллі

[pic 4] 

Якщо не дорівнює 0 то має єдиний розв’язок

3.2 Перетворення вихідної системи рівнянь

[pic 5]

3.3 Перевірка умови збіжності методу

Для перевірки збіжності потрібно повинна виконуватись умова (рис. 3)

[pic 6]

[pic 7]

Рис. 3

3.4 Вибір початкового наближення

[pic 8]

3.5 За рекурентною формулою

[pic 9]

[pic 10]

3.6 Реалізація 3-4 ітерацій за рекурентною формулою

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13][pic 14]

[pic 15][pic 16][pic 17]

[pic 18]

     3.7 Критерій зупинення ітерації :

[pic 19]- Критерій по х1

[pic 20]- Критерій по х2

[pic 21]- Критерій по х3

3.8 Знаходження розв’язку СЛАР з використанням вбудованих засобів MathCad