Непрерывные отображения
Автор: Анастасия Миронец • Май 12, 2018 • Реферат • 1,518 Слов (7 Страниц) • 403 Просмотры
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. Вернадского»
(ФГАОУ ВО «КФУ им. В. И. Вернадского»)
Таврическая академия (структурное подразделение)
Факультет математики и информатики
Кафедра дифференциальных уравнений и геометрии
Миронец Анастасия Александровна
Непрерывные отображения.
Реферат
Обучающегося 3 курса
Направления подготовки 01.03.01 математика
Форма обучения очная
Проверил:
Симферополь, 2017
СОДЕРЖАНИЕ
- Непрерывные отображения ………………………………………………... 3
- Локальные свойства непрерывных отображений ………………………... 4
- Примеры непрерывных отображений………………………………………. 5
- Примеры решения задач ……………………………………………………. 6
- Список использованной литературы …………………………………… ... 7
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Определение 1. Отображение [pic 1] топологического пространства [pic 2] в топологическое пространство [pic 3] называется непрерывным в точке [pic 4], если для любой окрестности [pic 5] точки [pic 6] найдется окрестность [pic 7] точки [pic 8] образ которой [pic 9] содержится в [pic 10].
Итак,
[pic 11]непрерывно в [pic 12].
В случае, если [pic 13] и [pic 14] — метрические пространства [pic 15],[pic 16] определение 3, разумеется, можно сформулировать на языке [pic 17]:
[pic 18] непрерывно в[pic 19].
Определение 2. Отображение [pic 20] называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке [pic 21].
Множество непрерывных отображений X в [pic 22] обозначают символом [pic 23].
Теорема 1 (критерий непрерывности). Отображение [pic 24] топологического пространства [pic 25] в топологическое пространство [pic 26] непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз - любого открытого (замкнутого) подмножества [pic 27] открыт (замкнут) в X.
Доказательство. Поскольку прообраз дополнения есть дополнение к прообразу, достаточно доказать теорему для открытых множеств.
Покажем сначала, что если [pic 28], а [pic 29] то [pic 30]. Если [pic 31], то открытость прообраза налицо. Если же [pic 32] и [pic 33], то по определению непрерывности отображения [pic 34] в точке [pic 35] для окрестности [pic 36] точки [pic 37] найдется такая окрестность [pic 38] точки [pic 39] в [pic 40], что [pic 41]. Значит, [pic 42]. Поскольку [pic 43], заключаем, что [pic 44] — открыто, т. е. [pic 45].
Теперь докажем, что если прообраз любого открытого в [pic 46] множества открыт в [pic 47], то [pic 48]. Но, беря любую точку [pic 49] и произвольную окрестность [pic 50] ее образа в [pic 51], мы обнаруживаем, что, множество [pic 52] является открытой окрестностью точки [pic 53] в [pic 54], образ которой содержится в [pic 55]. Следовательно, проверено определение непрерывности отображения [pic 56] в произвольной точке [pic 57].
Определение 3. Биективное отображение [pic 58] одного топологического пространства [pic 59] на другое [pic 60] называется гомеоморфным или гомеоморфизмом, если как оно само, так и ему обратное отображение [pic 61] непрерывны.
...