Предел функции и непрерывность

Предел функции и непрерывность

§1.  Числовая последовательность.

Предел числовой последовательности

1.1. Определение числовой последовательности

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (элементов), имеющих определенные номера. Эти числа являются членами последовательности:   x1-первый член,  x2-второй член,  ... , xn-n-ый член. Числовая последовательность обозначается так: {xn}.

        Числовую последовательность задают формулой n-го члена: xn=f(n). Например, если [pic 1]

то    x1=2, [pic 2] [pic 3], ..., [pic 4] и т.д.

        Числовую последовательность также можно задать рекуррентным соотношением: [pic 5],  x1=1.

Тогда [pic 6],[pic 7],[pic 8] и т.д.

        1.2. Предел числовой последовательности

        Определение. Число А называется пределом числовой последовательности {xn}, если для [pic 9] такое, что для всех n>N выполняется условие [pic 10].

        Это означает, что в любой окрестности точки А содержится бесконечное множество элементов последовательности.

[pic 11]

(1.1)

:  [pic 12][pic 13]

Доказать, что , означает найти зависимость

        Пример 1.1. Доказать, что [pic 14].

        Доказательство. Рассмотрим неравенство .

,  [pic 15],  

Для того чтобы для  выполнялось условие [pic 16] достаточно выбрать .

Если то , , N=9, т.е. все члены, начиная с x10, находятся в 0,01-окрестности точки 1.

[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

                            0,99              1             1,01

Числовая последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Если же предел не существует или равен , то последовательность называется расходящейся.

        1.3. Свойства передела

1. Предел линейной комбинации

.                (1.2)

2. Предел произведения

[pic 34].                        (1.3)

3. Предел частного

        , если .                (1.4)

4. Предел отношения многочленов

        Пусть xn и yn многочлены от n степени k и m соответственно, т.е.

 xn=Pk(n)=a0 nk+a1nk-1+...+ak,   yn=Qm(n)=b0nm+b1nm-1+...+bm

[pic 35]

Докажем, что предел отношения многочленов равен пределу отношения их старших членов, т.е.

         (1.5)

Имеем:  [pic 36], что и требовалось.

Итак,

[pic 37]

[pic 38]                        (1.6)

        Пример 1.2. Найти пределы:

а)   б) [pic 39],  

в) [pic 40]

Решение.

а)  

б)[pic 41],  

в) [pic 42].

Следует отметить, что формулы (1.5) и (1.6) справедливы не только для многочленов целой степени, но и для многочленов дробной степени, так как  для любого a>0.

        Пример 1.3. Найти пределы.

а) ,