Модель парной линейной регрессии

Модель парной линейной регрессии

Задача. Собраны данные за апрель 2021 о стоимости квартир (млн. руб.) и общей площади (м2) в городе Иркутске на вторичном рынке недвижимости. Данные собраны самостоятельно с помощью сервиса: https://www.domofond.ru/.

Y – стоимость квартиры

X – общая площадь квартиры

Необходимо оценить регрессионную модель зависимости стоимости квартиры (в млн. руб.) от общей площади (в м2).

[pic 1]

Построение поля корреляции и формирование гипотезы о форме связи

[pic 2]

Связь по направлению – прямая, по форме – близка к линейной.

Расчёт параметров выборочного уравнения линейной регрессии при помощи МНК

МНК позволяет минимизировать сумму квадратов остатков.

Коэффициенты b0 и b1, при которых сумма квадратов отклонения будет минимальной можно найти, решив следующую систему уравнений:

[pic 3]

[pic 4]

Также можно использовать следующие формулы:

[pic 5]

[pic 6]

Если воспользуемся функцией ЛИНЕЙН в Excel, то получим:

[pic 7]

        b0 = 1.29

        b1 = 0.08    

Уравнение парной линейной регрессии:    ŷ = 1,29+0.08x       R2 = 0,66

Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции (выборочный коэффициент корреляции) и детерминации

Линейный коэффициент корреляции вычислим по формуле:

[pic 8]

rxy =  0.81

По шкале Чеддока сила связи между признаками высокая.

Для вычисления коэффициента детерминации используется следующая формула:

[pic 9]

SSR = 35,9

SSобщ = 54,4            R2 = 0,66

66% вариации стоимости недвижимости объясняется общей площадью квартиры, 34% приходится на прочие факторы. Такими факторами могут быть район, качество ремонта, площадь кухни, наличие инфраструктуры рядом с домом (детская площадка, парковка), близость остановочного пункта и другое.

Оценка статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью критерия Стьюдента

[pic 10] 

α = 0,05 – уровень значимости

1. Оценить параметры регрессии. 𝑏0 = 1,29; 𝑏1 = 0,08

2. Оценить дисперсию возмущений

[pic 11]              

𝑆2 = 18,28/13 = 1,41 – несмещенная оценка дисперсии случайных отклонений    S = 1,19

3. Оценить стандартные ошибки оценок параметров

[pic 12]

𝑆𝑏1=1,19/71,7 = 0,02 – cтандартная ошибка коэффициента регрессии

Статистика критерия при нулевой гипотезе имеет распределение Стьюдента с (n-2) степенями свободы.

[pic 13]

           t = 0,08/0,02 = 4

Критические точки: 𝑡1−𝑎/2(𝑛−2) = 𝑡0,975(13) = 2,16

4 > 2,16            |tфакт| > t табл[pic 14]

Гипотеза Н0 : b1=0, отвергается в пользу альтернативной при выбранном уровне значимости 0,05. Это подтверждает статистическую значимость коэффициента регрессии b1.

[pic 15]

α = 0,05 – уровень значимости

[pic 16]

𝑆𝑏02 = (1,41 * 63135,8)/(15*5140,5) = 1,15

𝑆𝑏0 = 1,07

[pic 17]

          t = 1,29/1,07 = 1,2

Гипотеза Н0 : b1=0 принимается при выбранном уровне значимости 0,05. Коэффициент b0 не является значимым.