Решение задачи Коши различными методами

Некоммерческое акционерное общество

«АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ»

Кафедра «IT инженерига»

РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №2

По дисциплине: Компьютерное решение дифференциальных и рациональных

                          уравнений

По теме: Решение задачи Коши различными методами

Специальность:  5В060200 – Информатика

Выполнил: Удербаев Еркебулан  Группа: ИНФ 15-2

Принял: проф. Тойбаев С.Н.

____________ «_____» ____________________ 2018 г.

Алматы

Содержание:

Введение        3

Персональное задание        4

Точное решение задачи Коши        4

Метод Эйлера        5

Усовершенствованный метод Эйлера        6

Классический метод Рунге-Кутты 4-го порядка        8

Сравнительный анализ всех методов        9

Заключение        11

Список использованной литературы        12

Введение

Задача Коши — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие). Этим мотивируется терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при {\displaystyle t=0} t=0, а решение отыскивается при {\displaystyle t>0} t>0.

От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.

Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:

Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?

Если решение существует, то какова область его существования?

Является ли решение единственным?

Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?

Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение {\displaystyle y=f(x)} y=f(x) и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки {\displaystyle (x_{0},y_{0})} (x_{0},y_{0}) имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений {\displaystyle y=f(x)} y=f(x). Точка {\displaystyle (x_{0},y_{0})} (x_{0},y_{0}) задаёт начальные условия.

Расчётно-графическая работа №2

        Персональное задание:

Найти частное решение дифференциального уравнения [pic 1], соответствующее начальному условию [pic 2], методами Эйлера, Рунге-Кутта на отрезке [pic 3]. К каждому методу построить таблицы, а также сравнительную итоговую таблицу и график приближённого решения.

Точное решение задачи Коши

Исходное уравнение:

[pic 4]

Разделим обе части уравнения на [pic 5]:

[pic 6]

Проведём замену: [pic 7]

[pic 8]

Разделим обе части уравнения на [pic 9]:

[pic 10] – линейное уравнение

Общее решение однородного уравнения:

[pic 11]

Проинтегрируем обе части уравнения:

[pic 12]

[pic 13],  [pic 14]

Частное решение однородного уравнения:

[pic 15]

Проинтегрируем обе части уравнения:

[pic 16]

[pic 17]

Общее решение:

[pic 18]

Осуществляем обратную замену:

[pic 19]

[pic 20] также является решением уравнения

Используем наше заданное условие [pic 21] для нахождения С:

[pic 22]

Отсюда [pic 23]

Ответ: [pic 24]

        Метод Эйлера

        Сначала понадобится уже найденное выше точное решение заданного уравнения [pic 25]. Нужно найти и построить ломаную, которая приближает график функции на промежутке [pic 26]. Поскольку длина этого промежутка равна 1.6, а шаг составляет [pic 27], то наша ломаная будет состоять из 16 отрезков: [pic 28] причём, точка [pic 29] уже известна – она соответствует начальному условию [pic 30]. Кроме того, очевидны «иксовые» координаты  других точек: [pic 31] Осталось найти [pic 32]. 

...