Математикалық индукция

Математикалық индукция әдісі, ұсынылған пікірдің не тұжырымның ақиқаттығын дәлелдеуге көмектесетін әдіс. Математикалық индукция әдісімен дәлелдеу екі кезеңнен тұрады.

1) Натурал сан n=1 болғанда (немесе бұл тұжырымның мағынасы болатын n-нің басқа мәндерінде) дұрыс болса

2) n=k (к >1) қандай бір натурал мәні үшін ақиқат деп ұйғарып, келесі n=k+1 үшін де ақиқат болса, онда тұжырым n- нің барлық натурал мәндері үшін ақиқат болады.

Математикалық индукция әдісі натурал n- ге тәуелді тұжырымдарды дәлелдеуге қолданылады.

1- есеп. Тақ натурал сандар үшін 1+3+5+...+ (2n-1) = n² болатындығын дәлелдеу керек

n = 1 болса S(1) = 1²

n = k үшін формула S(n) = n² орынды деп ұйғарып, n = k+1 үшін орынды болатындығын S(k+1) = (k+1)² дәлелдейік.

S(k+1) = 1+3+5+...+ (2k-1) + (2k+1) = S(k) + (2k+1) = k²+2k+1 = (k+1)² яғни S(k+1) = (k+1)² орынды екендігі дәлелденді. Сондықтан барлық натурал n сандар үшін орынды.

2- есеп. Натурал сандардың алғашқы n мүшелерінің квадраттарының қосындысы үшін 1²+2²+3²+4² +...+ n² = теңдігінің орындалатындығын дәлелдеу керек.

1) S(1) = 1 = 1² =1 n=1 үшін орынды.

n=k үшін орынды деп ұйғарамызда,

n=k+1 үшін дәлелдейік.

S(k+1) = 1² +2² +3² + 4² +...+k² +(k+1)² = S(k) + (k+1)² = +(k+1)² = == = мұнан біз n=k+1 үшін формула орынды екендігін дәлелдедік, ендеше кез – келген

натурал n үшін формула орынды.

3-есеп. Кез- келген натурал n үшін мына теңдіктің орынды екендігін дәлелдейік

1+3+6+10+...+ =

n=1 онда, 1= орынды.

n=k үшін орынды деп ұйғарамызда,

n=k+1 үшін дәлелдейік

1+3+6+...+ +=S(k)+ =

=