Контрольная работа по "Теории вероятностей и математической статистике"

Основные данные о работе

Основная часть

Выполните учебное задание в виде реферата с презентацией в формате Power Point на тему: «N-мерное нормальное распределение». Приведите формулы плотности нормального распределения величины при n = 2.

Введем понятие семейства нормальных распределений. По определению нормальным распределением называется распределение случайной величины [pic 1], для которой распределение приведенной случайной величины есть [pic 2]. Как следует из общих свойств масштабно-сдвиговых семейств распределений (см. выше), нормальное распределение – это распределение случайной величины

[pic 3]

где [pic 4] – случайная величина с распределением [pic 5], причем [pic 6]. Нормальное распределение с параметрами [pic 7] и [pic 8] обычно обозначается [pic 9] (иногда используется обозначение [pic 10] ).

Как следует из (8), плотность вероятности нормального распределения [pic 11] есть

[pic 12]

Нормальные распределения образуют масштабно-сдвиговое семейство. При этом параметром масштаба является [pic 13], а параметром сдвига [pic 14].

Для центральных моментов третьего и четвертого порядка нормального распределения справедливы равенства

[pic 15]

Эти равенства лежат в основе классических методов проверки того, что результаты наблюдений подчиняются нормальному распределению. В настоящее время нормальность обычно рекомендуется проверять по критерию [pic 16] Шапиро – Уилка. Проблема проверки нормальности обсуждается ниже.

Распределение Фишера – это распределение случайной величины

[pic 17]

где случайные величины [pic 18] и [pic 19] независимы и имеют распределения хи-квадрат с числом степеней свободы [pic 20] и [pic 21] соответственно. При этом пара [pic 22] – пара "чисел степеней свободы" распределения Фишера, а именно: [pic 23] – число степеней свободы числителя, а [pic 24] – число степеней свободы знаменателя. Распределение случайной величины [pic 25] названо в честь великого английского статистика Р.Фишера (1890–1962), активно использовавшего его в своих работах.

Выражения для функций распределения хи-квадрат, Стьюдента и Фишера, их плотностей и характеристик, а также таблицы можно найти в специальной литературе

Как уже отмечалось, нормальные распределения в настоящее время часто используют в вероятностных моделях в различных прикладных областях. В чем причина такой широкой распространенности этого двухпараметрического семейства распределений? Она проясняется следующей теоремой.

Центральная предельная теорема (для разнораспределенных слагаемых). Пусть [pic 26]. – независимые случайные величины с математическими ожиданиями [pic 27]. и дисперсиями [pic 28]. соответственно. Пусть