Контрольная работа по "Линейной алгебре"

Вариант 5.

1. Определить промежутки возрастания и убывания функции. Найти экстремумы функции.

[pic 1].

Решение.

Область определения функции [pic 2], [pic 3] дифференцируема всюду в области определения.

[pic 4]

[pic 5] при  [pic 6], [pic 7].

Решим неравенство: [pic 8], то есть

[pic 9], справедливо для всех [pic 10]–  это промежуток возрастания функции.

Соответственно неравенство [pic 11]–  это промежуток убывания функции.

Критическая точка: [pic 12].

Т.к. при переходе через точку [pic 13] производная поменяла знак с “–” на “+”, то точка [pic 14], точка экстремума минимума.

[pic 15], [pic 16]

2. Тело движется прямолинейно по закону [pic 17].

Найти максимальную скорость движения.

Решение.

Скорость равна первой производной по времени от пути:

[pic 18].

Для нахождения максимальной скорости исследуем полученную функцию скорости на экстремум:

Находим производную данной функции:

[pic 19].

Приравняем производную к нулю и находим критические точки:

[pic 20]

[pic 21].

Исследуем характер данной точки:

[pic 22][pic 23]

                          [pic 24]         +                                                –

        [pic 25][pic 26][pic 27]

        [pic 28]                      2          

Данная точка– точка экстремума максимума.

Таким образом максимальная скорость будет при [pic 29] и равна:

[pic 30]м/с.

Ответ: 42 м/с.

3. Найти интеграл.

[pic 31].

Решение.

Воспользуемся подстановкой [pic 32]:

[pic 33]

Ответ: [pic 34].

4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

 [pic 35].

Выполнить чертеж.

Решение.

Находим точки пересечения линий. Для этого приравняем правые части уравнений:

[pic 36].

т.е. точки пересечения A(-2;0); B(2;0)