Контрольная работа по "Линейной алгебре"

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования

«Сибирский государственный университет науки и технологий

имени академика М. Ф. Решетнёва»

Институт информатики и телекоммуникаций

Кафедра высшей математики (ВМ)

Типовой расчёт / Контрольная работа №1

по дисциплине «Линейная алгебра»

Вариант 25

        Выполнил: ст. гр.БКСЗ20-01

        Сиденко. С.В

        Проверил: доц. каф. ВМ
        Яковлев Е. И.

Задание №1. Перемножить матрицы:    [pic 1][pic 2][pic 3]

 = [pic 4][pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

Задание №2. Вычислить определители:

а)

  =   +  + [pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

 [pic 14]

Б)

=4313[pic 15][pic 16]

Задание №3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса

[pic 17]

Находим главный определитель системы:

=[pic 18]

=[pic 19]

[pic 20]

Т. к  [pic 21]

а) Метод Крамера. Находим главный () и побочные () определители системы: [pic 22][pic 23]

=== [pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

 =  [pic 28][pic 29]

 =  [pic 30][pic 31]

 =  [pic 32][pic 33]

Тогда х =  =  = 1;  у =  =  = 1;  z =  =  = .[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

б) Элементарные преобразования уравнений системы будем совершать над строками расширенной матрицы системы. Сначала ко второй и третей строкам прибавляем первую, умноженную соответственно на -2 и на -3. Затем к третьей строке прибавим вторую, умноженную на -0,5.

 [pic 41][pic 42]

Последней матрице соответствует система [pic 43]

Отсюда [pic 44]

в) Запишем систему в матричном виде  , где[pic 45]

А = , Х = ,  В = . Отсюда X = .  Находим:[pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]

 =  = ( +( + = [pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]

= [pic 55]

Т.к определитель  матрицы системы А отличен от нуля, то матрица А имеет обратную. Для нахождения обратной матрицы  вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:[pic 56][pic 57]

,[pic 58]

 =[pic 59][pic 60]

 =[pic 61][pic 62]

 [pic 63]

 =[pic 64][pic 65]

 =[pic 66][pic 67]

[pic 68]

 =[pic 69][pic 70]

 2 + 4 = 6[pic 71]

Матрица , обратная к матрице А имеет вид  .[pic 72][pic 73][pic 74]

Проверим правильность вычисления обратной матрицы, исходя из ее определения:

А=.[pic 75][pic 76][pic 77]

=[pic 78]

=   Е.[pic 79][pic 80][pic 81]

Находим

Х =  =  =  = = [pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86]

=    = .[pic 87][pic 88][pic 89]

Ответ: Х = (х; у; z) = (1; 1;-1).

Задание №4. Найти общее решение методом Гаусса.

[pic 90]

[pic 91]

Получили

[pic 92]

[pic 93]

+1) = [pic 94][pic 95]

Пусть

 ,  ,  , , , .[pic 96][pic 97][pic 98][pic 99][pic 100][pic 101]