Контрольная работа по "Линейной алгебре"
Автор: taneoomega • Ноябрь 14, 2020 • Контрольная работа • 596 Слов (3 Страниц) • 193 Просмотры
Контрольная работа № 1
Задание 1. Вычислить определители:
а) [pic 1]; б) [pic 2]; в) [pic 3]; г) [pic 4].
Решение:
а) [pic 5].
б) Используем правило треугольников:
[pic 6].
в) Используем правило треугольников:
[pic 7].
г) Обнулим элементы первого столбца, за исключением последнего:
[pic 8]
[pic 9].
Ответ: а) 10; б) 49; в) [pic 10]; г) 26.
Задание 2. Умножить матрицы:
а) [pic 11]; б) [pic 12]; в) [pic 13].
Решение:
а) Перемножаем матрицы:
[pic 14].
б) Перемножаем матрицы:
[pic 15]
[pic 16].
в) Перемножаем матрицы:
[pic 17].
Ответ: а) [pic 18]; б) [pic 19]; в) [pic 20].
Задание 3. Найти обратные матрицы для матриц:
а) [pic 21]; б) [pic 22].
Решение:
а) Вычислим определитель матрицы:
[pic 23].
Вычисляем алгебраические дополнения:
[pic 24].
Искомая обратная матрица:
[pic 25].
б) Найдем обратную матрицу методом Гаусса:
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28].
Ответ: а) [pic 29]; б) [pic 30].
Задание 4. Найти ранг матрицы двумя способами:
[pic 31].
Решение:
1-й способ. Найдем ненулевой минор 2-го порядка:
[pic 32],
[pic 33].
Таким образом, ранг заданной матрицы равен не менее двум.
Вычислим окаймляющий ненулевой минор третьего порядка:
[pic 34],
[pic 35].
Так как больше окаймляющих миноров третьего порядка нет, то делаем вывод, что ранг матрицы равен двум.
2-й способ. Приведем матрицу к ступенчатому виду элементарными преобразованиями:
[pic 36].
Получили две ненулевые строки, значит, ранг заданной матрицы равен двум.
Ответ: ранг равен двум.
Задание 5. Решить системы матричным способом и по формулам Крамера:
а) [pic 37]; б) [pic 38].
Решение:
а) Перепишем систему в матричном виде:
[pic 39],
где [pic 40]. Умножив слева на обратную матрицу, получим
[pic 41].
Вычислим определитель:
[pic 42].
Вычислим алгебраические дополнения:
[pic 43],
[pic 44],
[pic 45].
Обратная матрица равна
[pic 46].
Находим искомое решение:
[pic 47].
Значит, [pic 48].
Вычислим решение по формулам Крамера:
[pic 49].
При этом [pic 50]. Вычисляем вспомогательные определители по правилу треугольников:
[pic 51],
[pic 52],
[pic 53].
Решение по формулам Крамера:
...