Контрольная работа по "Линейной алгебре"

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский институт бизнеса и информационных технологий»

ИНТЕРАКТИВНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ (РЕШЕНИЕ КЕЙСА)

Дисциплина: Линейная алгебра

Выполнил:

Ф.И.О.

Город:

Омск 20__

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

В задачах 1 –10 найти матрицу D = AB - 2C

1. Найти матрицу D = AB [pic 1] 2C  в задаче

[pic 2]  [pic 3]  [pic 4] 

Решение:

Вычислим отдельно каждое слагаемое.

Найдем матрицу АВ равную произведению матриц А и В.

Матрица А имеет размерность 3×2, матрица В имеет размерность 2×3, значит размерность произведения  будет 3×3. Получим:

[pic 5]

Найдем матрицу 2С равную произведению числа 2 и матрицы С.

Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый ее элемент умножить на это число. Получим:

[pic 6]

Чтобы найти элементы матрицы D, нужно от элементов матрицы АВ вычесть соответствующие элементы матрицы 2С.

 Итак, искомая матрица D = AB [pic 7] 2C  примет вид:

[pic 8]

Ответ: [pic 9]

.

В задачах 11 – 20 дана невырожденная матрица A. Найти обратную матрицу A-1 и пользуясь правилом умножения матриц, показать, что А·A-1 = Е, где Е– единичная матрица.

11. [pic 10]

Решение.

Вычислим определитель матрицы:

[pic 11]

|A| ≠ 0 ⇒ матрица А невырожденная и имеет обратную ей матрицу.

Построим матрицу А-1 обратную для [pic 12]по формуле:

[pic 13]

где Аij – алгебраические дополнения, соответствующие элементам аij.

Вычислим алгебраические дополнения:

A11 = (–1)1+1M11 = [pic 14] = -4 +10 = 6.

A12 = (–1)1+2M12 = –[pic 15]  = – (8 -15) = 7.

A13 = (–1)1+3M13 = [pic 16]  = -4 + 3 = -1.

A21 = (–1)2+1M21 = –[pic 17]  = – (8 - 4)  = -4.

A22 = (–1)2+2M22 = [pic 18]  = -4 + 6= 2.

A23 = (–1)2+3M23 = –[pic 19]  = – (2 - 6) = 4.

A31 = (–1)3+1M31 = [pic 20]  = 10 – 2 = 8.

A32 = (–1)3+2M32 = –[pic 21]  = – (-5 +4) = 1.

A33 = (–1)3+3M33 = [pic 22]  = 1 - 4 = -3.

Тогда А-1 примет вид:

[pic 23]

Покажем, пользуясь правилом умножения матриц, что     А·A-1 = Е

[pic 24]

Ответ. [pic 25]

В задачах  21  –  30  решить системы  линейных уравнений с тремя неизвестными.

[pic 26]

Решение.

Решим данную систему методом  Крамера.

Для отыскания неизвестных х, у,  z  используем формулы Крамера:

[pic 27] 

где   ∆ − основной определитель системы;

∆x − определитель, полученный из основного определителя, заменой первого столбца на столбец свободных членов. Аналогично строятся определители   ∆y , ∆z – второй и третий столбец основной матрицы, заменяются на столбец свободных членов соответственно.

Вычислим основной определитель системы по правилу «треугольника».

 [pic 28] 

Так как определитель [pic 29] не  равен нулю, то система имеет единственное решение.

Вычислим определители [pic 30].  

[pic 31]     

[pic 32]

[pic 33]

Находим решение системы, используя формулы Крамера: