Контрольная работа по "Дискретной математике"

[pic 1]

Решение:

[pic 2]

Упростим данную формулу, используя равносильные преобразования. Операцию импликацию  можем записать как . Тогда:[pic 3][pic 4]

 {по закону исключения третьего }  — упрощенная формула.[pic 5][pic 6][pic 7]

[pic 8]

Решение:

.[pic 9]

Подставляем  у логическое уравнение  и получаем . А это возможно тогда и только тогда, когда . Следовательно, при  уравнение  будет противоречивым.[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

[pic 16]

Решение:

.[pic 17]

Равенство двух множеств  эквивалентно двум включениям  и . [pic 18][pic 19][pic 20]

1) Покажем выполнение следующего включения . Пусть , тогда по определению декартова произведения , . Используя определение операции пересечения, имеем  и , . Если , , то , а если , , то . Итак,  и , тогда по определению пересечения . Что доказывает то, что .[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

2) Покажем выполнение включения в обратную сторону . Пусть , тогда по определению операции пересечения  и . Используя определение декартова произведения, имеем ,  и . Если  и , то по определению пересечения . Итак, , , тогда по определению декартова произведения . Что доказывает то, что .[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]

Из показанных включений следует равенство .[pic 52]

[pic 53]

Решение:

Построим таблицу истинности для формулы .[pic 54]

[pic 59]

Решение:

.[pic 60]

Построим таблицу истинности для левой формулы .[pic 61]

Видим, что таблица истинности формулы  совпадает с таблицей истинности формулы . Поэтому .[pic 67][pic 68][pic 69]

По закону склеивания .[pic 70]

[pic 71]

Решение:

Построим таблицу истинности для формулы .[pic 72]