Контрольная работа по "Высшей математике"

Контрольная работа №2

по дисциплине Высшая математика

Вариант №6

Задача №1

Записать общее уравнение прямой, проходящей через точку М(2,4) перпендикулярно прямой 3x+4y+5=0

Решение:

Так как прямые перпендикулярны то [pic 1][pic 2] к1хк2=-1или А1=В2 и В1= -А2

[pic 3]Следовательно, новое уравнение будет иметь вид: 4x-3y+C=0

Ответ:

4х-3у+4=0

Задача №2

Составить уравнения прямых, проходящих через точку Р(3,5) на одинаковых расстояниях от точек А(-7,3) и В(11,-15). В ответ ввести уравнение той прямой, которая отсекает от осей координат треугольник, расположенный в первой четверти.

Решение:

[pic 4]

y - y1 =k (x - x1)

y – 5 =k (x - 3)

y – 5 -kx + 3k =0

yx – y + (5 - 3k) =0

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Зададим условия.

1)  к < - 2,5

-5к + 1=- (4к + 10)

2)  -2,5 < к < 0,2

-5k + 1 =4k + 10

3)  k > 0,2

Проверим условия.                      

1)  -5к + 4к = -10 - 1-  к=- 11    

     к = 11

     [pic 10]

2) - 5к - 4к = 10 – 1 - 9к =9

К = -1

кх – у + (5 - 3к) =0

-х-у+8=0

х+у-8=0

3)    5к - 4к = 10 + 1

       к = 11

       11х – у – 28 =0

Ответ: х + у – 8 = 0

Задача №3

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки М1(4,2,1) и М2(3,3,2) параллельно вектору АВ=(4,-3,-2).

Решение :

Координаты  вектора М1М2=(-1,1,1)

В качестве вектора нормали возьмем N=(AB, М1М2)

[pic 11]

[pic 12]

Уравнение плоскости можно записать в виде 

[pic 13]

значения N, в уравнение  D. вычислю и подсчитаю

[pic 14] [pic 15] Отсюда D=7

[pic 16] [pic 17] Отсюда D=7

Уравнение будет иметь вид. 

[pic 18]

Ответ:

-x - 2y + z + 7 =0

Задача №4

Найти координаты проекции начала координат на прямую.[pic 19]

Решение:

Запишем параметрическое уравнение прямой. [pic 20]

Положим x=t и выразим из уравнения неизвестные y и z через t.

[pic 21]

Направляющий вектор N=(4,3,-2) можно принять в качестве вектора нормали плоскости П.

Запишем уравнение плоскости П: [pic 22]; поскольку координаты проекции равны (0,0,0) то D=0 и уравнение плоскости примет вид вид 4х+3у-2z =0 

Подставив в уравнение плоскости, найдем t.

[pic 23]

Теперь подставив t в параметрическое уравнение найдем координаты проекции начала на прямую.

[pic 24]

Координаты проекции начала координат ,будет равен Q=(1,-2,-1)

Ответ:

Q=(1, -2, -1)

Задача №5

При каком значении параметра С прямая
[pic 25]

Параллельна плоскости .x + 3y + Cz - 2 =0.

Решение:

Прямая параллельна плоскости,  данное выражение можно записать в матричной форме и вычислить С.

[pic 26]

Отсюда С=2

Ответ:

С=2

Задача №6

Две грани куба лежат на плоскостях 3x − 6y + 2z − 5 = 0 и 3x−6y+2z+30 = = 0. Вычислите объём куба.

По уравнению [pic 27] находим площадь плоскости.

Так как [pic 28] и грани куба лежат на одной плоскости то уравнение [pic 29]  заменить на [pic 30] и подставив в уравнение данные плоскости получим [pic 31]