Контрольная работа по "Высшей математике"

Задание №1.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Требуется: 1) найти ее решение методом Гаусса; 2) по формулам Крамера.

Решение:

1. Метод Гаусса:

Для начала перепишем систему в виде матрицы:

[pic 2]

Затем первую строку делим на 2.

[pic 3]

От второй строки отнимаем 1-ую строку, умноженную на 1.

[pic 4]

Вторую строку делим на 3.5.

[pic 5]

К первой строке добавляем вторую строку, умноженную на 0.5; от третьей строки отнимаем вторую строку, умноженную на 2.

[pic 6]

Третью строку делим на [pic 7]

[pic 8]

К первой строке добавляем третью строку, умноженную на ; к второй строке добавляем третью строку, умноженную на [pic 9][pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

Проведём проверку, подставив полученное решение в уравнения из системы и выполним вычисления:

2 × 1 – 8 = 2 – 8 = -6

1 + 3 × 8 – 4 × 9 = 1 + 24 – 36 = -11

2 × 8 – 9 = 16 – 9 = 7

Проверка выполнена успешно.

Ответ:

 [pic 13]

2) Метод Крамера:

[pic 14]

Воспользуемся формулой для вычисления матрицы 3×3.

2 × 3 × (-1) + (-1) × (-4) × 0 + 0 × 1 × 2 – 0 × 3 × 0 – 2 × (-4) × 2 – (-1) × 1 × (-1) = -6 + 0 + 0 – 0 +16 – 1 = 9

[pic 15]

(-6) × 3 × (-1) + (-1) × (-4) × 7 + 0 × (-11) × 2 – 0 × 3 × 7 - (-6) × (-4) × 2 - (-1) ×

× (-11) × (-1) = 18 + 28 + 0 - 0 - 48 + 11 = 9

[pic 16]

2 × (-11) × (-1) + (-6) × (-4) × 0 + 0 × 1 × 7 – 0 × (-11) × 0 – 2 × (-4) × 7 - (-6) × 1 × (-1) = 22 + 0 + 0 - 0 + 56 - 6 = 72

[pic 17]

2 × 3 × 7 + (-1) × (-11) × 0 + (-6) × 1 × 2 - (-6) × 3 × 0 – 2 × (-11) × 2 –

– (-1) × 1 × 7 = 42 + 0 - 12 - 0 + 44 + 7 = 81

 [pic 18]

 [pic 19]

 [pic 20]

Ответ:

 [pic 21]

Задание №2.

По координатам вершин пирамиды А1 А2 А3 А4 найти:  

1) длины ребер  А1 А2  и  А1 А3;         

2) уравнения прямых А1 А2 и А1 А3;      

3) уравнение медианы  А3М  грани А1 А2 А3;  

4) угол между ребрами А1 А2 и А1 А3;

5) площадь грани А1 А2 А3;    

6) объем пирамиды.

Решение:

Перед дальнейшим расчётом вычислим три вектора.

 [pic 22]

 [pic 23]

 [pic 24]

1) Найдём длины ребер А1А2 и А1А3

Длина ребра равна длине вектора [pic 25]

[pic 26]

Аналогично вычислим длину ребра А1А3

[pic 27]

2) Найдём уравнения прямых А1А2 и А1А3