Контрольная работа по "Высшей математике"
Автор: Egis • Декабрь 17, 2022 • Контрольная работа • 1,597 Слов (7 Страниц) • 144 Просмотры
Высшая математика
Контрольная работа №2
Вариант A
Задание 1. Вычислить пределы:
а) [pic 1] | б) [pic 2] | в) [pic 3] |
г) [pic 4] | д) [pic 5] | е) [pic 6] |
Решение. а) Здесь мы имеем с неопределенностью вида [pic 7]. Разделим числитель и знаменатель данной дробно-рациональной функции на x3 (на x в наивысшей степени). Тогда используя свойства пределов, получим
[pic 8]
б) Здесь мы имеем с неопределенностью вида ∞–∞. Умножим и разделим данное выражение на точно такое же, но со знаком плюс между слагаемыми (на сопряженное выражение):
[pic 9]
[pic 10].
В результате получилась неопределенность типа [pic 11]. Разделим числитель и знаменатель полученного выражения на x. Тогда получим
[pic 12].
в) Здесь мы имеем с неопределенностью вида [pic 13]. Разложим данное выражение на множители, а затем сократим дробь на x–1≠0 (x→2, но x≠2):
[pic 14].
г) Здесь мы имеем с неопределенностью вида [pic 15]. Умножим числитель и знаменатель на точно такое же выражение, стоящее в знаменателе, но со знаком плюс между слагаемыми:
[pic 16]
[pic 17].
д) Здесь мы имеем с неопределенностью вида [pic 18]. При вычислении данного предела воспользуемся методом эквивалентных бесконечно малых величин. Две бесконечно малые величины α(x) и β(x) называются эквивалентными бесконечно малыми величинами в окрестности точки x0, если
[pic 19].
Метод эквивалентных бесконечно малых величин заключается в том, что предел отношения двух бесконечно малых величин равен пределу отношения двух эквивалентных бесконечно малых величин, т.е. если α~α' и β~β', то
[pic 20].
Используя известные эквивалентности ln(1+α)~α, sinα~α, arctgα~α, а также учитывая, что [pic 21], получим
[pic 22].
е) Здесь мы имеем с неопределенностью вида [pic 23]. Представим исходный предел следующим образом:
[pic 24].
Предел выражения в квадратных скобках, в соответствии со вторым замечательным пределом, равен
[pic 25].
В результате получаем
[pic 26].
Задание 2. Построить график и определить характер точек разрыва:
[pic 27]
Решение. Построим график функции f(x):[pic 28]
Из рисунка видно, что исходная функция имеет три точки разрыва: x1=–2, x2=1, x3=3. Поскольку
[pic 29], [pic 30],
то в точке x1=–2 имеется разрыв 2-го рода. Поскольку
[pic 31], [pic 32],
то в точке x2=1 имеется устранимый разрыв. Поскольку
[pic 33], [pic 34],
то в точке x1=3 имеется разрыв 1-го рода.
Задание 3. Найти производные dy/dx данных функций:
а) [pic 35] | б) [pic 36] |
в) [pic 37], | г) [pic 38] |
д) [pic 39] | е) [pic 40]. |
Решение. а) При вычислении производной данной функции воспользуемся формулой (ua)'=aua–1u'. Тогда производная исходной функции найдется следующим образом:
[pic 41]
[pic 42]
[pic 43].
б) При вычислении производной данной функции следует использовать правило дифференцирования частного: [pic 44]. В результате получим
[pic 45][pic 46].
в) При вычислении производной данной функции следует использовать правило дифференцирования сложной функции. В результате получим
...