Контрольная работа по "Высшей математике"
Автор: IrinaDP • Ноябрь 29, 2022 • Контрольная работа • 967 Слов (4 Страниц) • 140 Просмотры
1. Найти предел:
[pic 1]
Решение:
[pic 2]
Ответ:
[pic 3]
2. Найти предел:
[pic 4]
Решение:
[pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
Ответ:
[pic 8]
3. Найти производную функции:
[pic 9]
Решение:
[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
Ответ:
[pic 21]
4. Составить уравнение касательных к графику функции в точках ее пересечения с осями координат. Сделать чертеж.[pic 22]
Решение:
Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
При :[pic 23]
[pic 24]
При :[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
Получили две точки пересечения графика функции с осями координат:
[pic 29]
Найдем производную от заданной функции:
[pic 30]
[pic 31]
[pic 32]
[pic 33]
[pic 34]
[pic 35]
Найдем значения производной в точках касания:
[pic 36]
[pic 37]
Теперь можем составить уравнения касательных:
[pic 38]
Запишем уравнение касательной в точке :[pic 39]
[pic 40]
[pic 41]
[pic 42]
Запишем уравнение касательной в точке :[pic 43]
[pic 44]
[pic 45]
Сделаем чертеж.
[pic 46]
Рисунок 4.1 – Функция и касательные[pic 47]
Ответ: , .[pic 48][pic 49]
5. Функции спроса и предложения имеют соответствующий вид: ; , где – цена товара (услуги), – некоторый технологический параметр. Равновесная цена определяется равенством спроса и предложения. Найти значение величины , если:[pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]
а) ;[pic 55]
б) .[pic 56]
Решение:
Равновесная цена определяется равенством спроса и предложения:
[pic 57]
а) Если , то [pic 58]
при получаем[pic 59]
[pic 60]
при получаем[pic 61]
[pic 62]
Если , то . [pic 63][pic 64]
Наибольшая равновесная цена достигается при .[pic 65][pic 66]
б) Если , то [pic 67]
при получаем[pic 68]
[pic 69]
при получаем[pic 70]
[pic 71]
Если , то . [pic 72][pic 73]
Наибольшая равновесная цена достигается при .[pic 74][pic 75]
Ответ:
а) Наибольшая равновесная цена достигается при .[pic 76][pic 77]
б) Наибольшая равновесная цена достигается при .[pic 78][pic 79]
6. Исследовать функцию и построить схематично ее график.[pic 80]
Решение:
1) Областью определения функции:
[pic 81]
[pic 82]
Так как , то уравнение действительных корней не имеет.[pic 83][pic 84]
Область определения функции:
[pic 85]
2) Исследуем функцию на непрерывность. Так как областью существования является вся числовая прямая, то функция непрерывна и не имеет точек разрыва.
3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью Ох :[pic 86]
[pic 87]
[pic 88]
Так как , то уравнение действительных корней не имеет.[pic 89][pic 90]
График функции точек пересечения с осью абсцисс не имеет.
С осью Оу :[pic 91]
[pic 92]
Получили точку .[pic 93]
Других точек пересечения с осями координат график функции не имеет.
4) Исследуем функцию на экстремум.
а) Найдем первую производную:
[pic 94]
[pic 95]
[pic 96]
[pic 97]
[pic 98]
[pic 99]
[pic 100]
б) Решая уравнение [pic 101], получим:
[pic 102]
[pic 103]
[pic 104]
[pic 105]
[pic 106]
Таким образом, первая производная равна нулю при и .[pic 107][pic 108]
в) Точки и разбивает ось абсцисс на три интервала знакопостоянства производной:[pic 109][pic 110]
[pic 111]
Для нахождения знака производной в каждом интервале определим знак производной в одной какой-либо точке каждого интервала:
[pic 112]
[pic 113]
[pic 114]
[pic 115]
...