Контрольная работа по "Высшей математике"

Контрольная работа №5

Задание 96

Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле. Сделать чертеж области интегрирования.

[pic 1]

Решение:

Пределы внешнего интеграла по переменной  – числа 1 и 7 указывают на то, что область D ограничена снизу прямой  и сверху .[pic 2][pic 3][pic 4]

Пределы внутреннего интеграла по переменной  – указывают на то, что область D ограничена слева прямой  и справа прямой .[pic 5][pic 6][pic 7]

[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

        Найдем точки пересечения линий:

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

Чтобы изменить порядок интегрирования, установим пределы интегрирования для внешнего интеграла по переменной . Как видно из рисунка, наименьшее значение которое принимает  в точке А(0; 7) равно 0, а наибольшее значение в точке  равно . Т.о. новые пределы интегрирования: 0 – нижний,  – верхний.[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

Определим пределы для внутреннего интеграла по переменной . Выразим  из уравнений:[pic 30][pic 31]

[pic 32]

 – нижний предел;  – верхний предел[pic 33][pic 34]

Т.о. [pic 35][pic 36]

Контрольная работа №6

Задание 9

I. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.

[pic 37]

Решение:

 [pic 38]

  [pic 39]

 – интервал сходимости[pic 40]

А)  [pic 41][pic 42]

Рассмотрим ряд, составленный из модулей:

[pic 43]

 [pic 44]

Модуль общего члена стремится к нулю при . Поэтому данный ряд сходится.[pic 45]

Определим сходимость ряда по признаку Даламбера

[pic 46]

Так как , то данный ряд по признаку Даламбера сходится.[pic 47]

Ряд  сходится абсолютно.[pic 48]

б)   – исследован ранее и он сходится.[pic 49][pic 50]

Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда .[pic 51]

Контрольная работа №7

Задание 43

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию  при . [pic 52][pic 53]

[pic 54]

Решение:

Это линейное д.у. Решим его методом Бернулли. Пусть . Тогда .  Подставляем в уравнение:[pic 55][pic 56]

[pic 57]

Найдем функцию  так, чтобы . Разделяем переменные и интегрируем (постоянную интегрирования берём равную, например, нулю):[pic 58][pic 59]