Контрольная работа по "Высшей математике"

1. С помощью преобразования графика гиперболы y = 1/x построить график функции y= x+2 / x+3.

Решение:

Выделим целую часть в дроби:

[pic 1]

Эта функция последовательно получается из гиперболы:

[pic 2]

f(x+3) – функция сдвигается влево на 3 по оси OX, получаем [pic 3][pic 4]

f(x+3)-1 – функция  сдвигается вверх на 1 по оси OY, получаем [pic 5][pic 6]

Итоговым графиком  является гипербола.[pic 7]

Ветки гиперболы ограничены двумя прямыми, которые называют асимптотами.

Ветки на бесконечности стремятся к этим прямым, но никогда их не достигают.

Рассмотрим смещение асимптот при построении:

Для исходного графика асимптотами являются оси координат, x=0,y=0[pic 8]

Для графикаоси координат остаются асимптотами.[pic 9]

Для графика происходит сдвиг влево, асимптоты x=-3,y=0[pic 10]

Для графика происходит сдвиг вверх, конечные асимптоты x = -3, y = 1[pic 11]

Получаем:

[pic 12]

[pic 13]

1. Найти предел .[pic 14]

Решение:

[pic 15]

[pic 16]

1. Найти y’ и y”, если y(x) задано неявно уравнением y+siny=2x.

Решение:

1) Найдем y’:

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

2) Найдем y”:

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

1. Пусть

A={k∈Z: k2+6k+5≤0}, B={k∈Z: k2-2k+3≤0}

Найти:

а) A∩B                                г) AΔB

б) A∪B                                д) A×B

в) A\B

Решение:

Решим в действительных числах неравенства:

k2+2k–3≤0  k∈[-3;1][pic 24]

k2–k–6≤0  k∈[-2;3][pic 25]

Выберем из них целочисленные значения A={k∈Z}, B={k∈Z} или A={-3,-2,-1,0,1}, В={-2,-1,0,1,2,3}[pic 26][pic 27]

Теперь найдем указанные в задании множества:

а) Пересечение A ∩ B = {−2,−1,0,1}, так как эти элементы являются общими для двух множеств;

б) Объединение A ∪ B = {−3,−2,−1,0,1,2,3}, то есть мы берем все элементы, которые принадлежат хотя бы одному множеству;

в) Разность A \ B = {−3}, потому что только один этот элемент из множества A не лежит в множестве B;