Контрольная работа по "Высшей математике"

Федеральное агентство связи

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Межрегиональный учебный центр переподготовки специалистов

Контрольная работа

по дисциплине: Высшая математика-1

Алгебра, геометрия и функции

Выполнила: Кострюкова Л.А.

Группа: МИТ-02

Вариант: 10

Проверила: Храмова Т.В.

Новосибирск, 2020

Задание №1.  Матричная алгебра.

Решить систему уравнений методом Крамера.

[pic 1]

Решение. Запишем систему уравнений в матричном виде:

[pic 2]

  .[pic 3][pic 4][pic 5]

Найдём определитель матрицы А:

[pic 6]

[pic 7]

Найдём определители матриц, полученных из матрицы A заменой i-го столбца на столбец B правых частей (i=1,2,3):

[pic 8]

Подставим полученные значения в формулы Крамера и найдём решение системы:

,  .[pic 9][pic 10][pic 11]

Ответ: [pic 12]

Задание №2. Аналитическая геометрия.

Даны четыре точки в пространстве: A (0, 0, 0), B (2, 0, −2), C (0, −1, 0),

 D (1, 1, 1).

По заданным точкам A, B, C и D составить уравнение прямой

AB и плоскости BCD, вычислить угол между ними и найти расстояние от точки A до плоскости BCD.
Решение. 

Подставим в уравнение прямой, проходящей через две точки, значения координат точек A (0; 0; 0), B (2; 0; -2) и преобразуем выражение:

[pic 13]

  канонические уравнения прямой АВ.[pic 14]

Координаты направляющего вектора прямой: [pic 15]

Подставим в уравнение плоскости, проходящей через три точки, значения координат точек B (2; 0; -2), C (0; -1; 0), D (1; 1; 1) и преобразуем выражение:

.[pic 16]

Вычислим определитель (формула «по первой строке»):

.[pic 17]

[pic 18]

уравнение плоскости BCD.[pic 19]

Координаты нормали к плоскости: [pic 20]

Угол ϕ между плоскостью и прямой:

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

Знак «—» следует проигнорировать, так как указывая угол между плоскостью и прямой, принято указывать острый: [pic 24]

Расстояние от точки до плоскости:

=[pic 25][pic 26]

[pic 27]

Ответ: , , , .[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

Задание №3. Предел функции.

Вычислить предел отношения величин.

а)[pic 32]

б)[pic 33]

Решение.

а) [pic 34]

    вынесем в числителе и знаменателе "старшую степень" переменной:

     [pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 35]

б) [pic 40]

    Преобразуем знаменатель и разложим на множители:

    [pic 41]

   [pic 42]

    Используя Первый замечательный предел, мы знаем, что:

     и , значит ;[pic 43][pic 44][pic 45]