Контрольная работа по "Высшей математике"

Задача 1. Найти матрицу Х из матричного уравнения (решить, используя обратную матрицу).

[pic 1]

Решение

Пусть А= [pic 2],   В= [pic 3], тогда уравнение можно записать в виде А⋅Х=В, откуда  Х=А-1⋅В

Найдем обратную матрицу  А-1

[pic 4]            Обратная матрица:

 [pic 5]

[pic 6]   

[pic 7] 

[pic 8]

 [pic 9]

Ответ: Х=[pic 10]

Задача 2

Решить систему уравнений методом Гаусса

[pic 11]

Решение

Составим расширенную матрицу системы:

[pic 12]

Вычтем из второй строки первую, вычтем из третьей строки первую, умноженную на 2

[pic 13]

Вычтем из 3-й и 4-й строки вторую:

[pic 14]

Разделим вторую строку на 5:

[pic 15]

Прибавим к первой строке вторую, умноженную на 2

[pic 16]

Получаем систему:

[pic 17]

Откуда общее решение системы

[pic 18]

Ответ: [pic 19]

Задача 3. Даны вершины треугольника АВС. Найти косинус угла при вершине А и площадь треугольника АВС

А(3,3,-1)  В(5,5,-2)  С(4,1,1)

Решение

Запишем координаты векторов:

[pic 20]={5-3, 5-3, -2+1}={2,2,-1}

[pic 21]={4-3,1-3, 1+1}={2,-2,2}

Площадь треугольника:

[pic 22]

[pic 23]

Ответ: S= [pic 24],  соs α= [pic 25]

Задача 4. Найти работу силы [pic 26] при перемещении материальной точки из точки А  в точку В

[pic 27]={1;-2;3}  A(0;-2;3)  B(1;-1;4)

Решение

Запишем координаты вектора [pic 28]={1-0; -1+2;  4-3}={1;1;1}

Найдем работу силы:  А=[pic 29]⋅[pic 30]=1⋅1-2⋅1+3⋅1=2

Ответ: 2

Задача 5. Даны вершины треугольника А,В,С. Найти

1) уравнение прямой, проходящей  через точку А параллельно стороне ВС  

2) уравнение медианы треугольника, проведённой из вершины В

3) длину высоты, опущенной из вершины  С.

А(-3,2)  В(1,-2)  С (3,3)