Контрольная работа по "Высшей математике"
Автор: oledgio • Январь 6, 2022 • Контрольная работа • 555 Слов (3 Страниц) • 221 Просмотры
Задача 1.Дана матрица интенсивностей λij переходных потоков событий
марковского случайного процесса «Фейковые новости на сайте» с непрерывным
временем и состояниями:
S1 – нет фейков;
S2 – один фейк;
S3 – два фейка;
S4 – три фейка;
S5 – четыре фейка.
Требуется:
а) Составить размеченный граф состояний.
б) Написать уравнения Колмогорова, если система в начальный момент времени
может находиться с равной вероятностью в любом состоянии.
в) Найти финальные вероятности состояний.
г) Определить, какую долю времени работы сайта на нем не будет фейков.
[pic 1]
Решение.
а) Согласно матрице интенсивностей, имеют место следующие переходы:
S1 → S2 : λ12 = 4 , S2 → S3 : λ23 = 5, S3 → S2 : λ32 = 2, S4 → S1 : λ41 = 3 , S5 → S1 : λ51 = 1 ,
S1 → S3 : λ13 = 8, S2 → S4 : λ24 = 1, S3 → S4 : λ34 = 2, S4 → S2 : λ42 = 2, S5 → S3 : λ53 = 4,
S1 → S5 : λ15 = 3,
S4 → S5 : λ45 = 9 , S5 → S4 : λ54 = 1 .
По этим переходам составляем размеченный граф состояний:
[pic 2]
б) Составляем уравнения Колмогорова по правилу: скорость изменения вероятности состояния равна всем входящим потокам вероятностей минус всем выходящим потокам (поток считается как интенсивность, умноженная на вероятность исходящего состояния):
[pic 3]
[pic 4]
в) Уравнения финальных вероятностей определяются условиями pi = 0
Это условие заменяет любое из уравнений системы, например, второе (в нем больше всего слагаемых):
Решаем эту систему методом обратной матрицы (см. пример решения предыдущего задания):
[pic 5]
р1 | р2 | р3 | р4 | р5 |
0,038 | 0,204 | 0,4959 | 0,0971 | 0,1648 |
г) Доля времени состояния системы равна его вероятности, фейки отсутствуют в
состоянии S1, поэтому доля времени, когда сайт свободен от фейков, р1 = 0,038, то есть 3% времени работы сайта.
Задача 2. СУБД может находиться в трех состояниях:
...