Контрольная работа по "Высшей математике"

Практическое задание (контрольная работа)

7. 

Дано:

А = ;  В = ; С = .
Найти: D = AB-2C.
Решение:
2С = 2· =  = [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

АВ =  *  =   =[pic 7][pic 8][pic 9]

 =  = [pic 10][pic 11]

D = AB–2C =  -  =  =
Ответ: D=.[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

17.

Дано:

А = .
Найти: А־¹
Показать: А·А־¹=Е , Е – единичная система .[pic 17]

Решение:

А־¹ = · Аᵀij ; где ∆ - определитель матрицы,  - транспонированная матрица, Аij – алгебраические дополнения[pic 18][pic 19]

∆ =  = (-1)·(-6)·(-7) + 1·2·2 + 3·1·0 - 2·(-6)·3 - 0·(-1)·2 – (-7)·1·1 = -42 + 4 + 0 + 36 – 0 + 7 = 5[pic 20]

 = [pic 21][pic 22]

Найдем алгебраические дополнения матрицы Аᵀ:
А₁₁ = ·; ∆₁₁ = (-6)·(-7) - 0·2 = 42[pic 23][pic 24]

А₁₂ = ·; ∆₁₂ = -(1·(-7) - 0·3) = 7[pic 25][pic 26]

А₁₃ = ·; ∆₁₃ = 1·2 - 3·(-6) = 2 + 18 = 20[pic 27][pic 28]

А₂₁ =·; ∆₂₁ = -(1·(-7) - 2·2) = 7+4 = 11[pic 29][pic 30]

А₂₂ = ·; ∆₂₂ = (-1)·(-7) - 2·3 = 7 – 6 = 1[pic 31][pic 32]

А₂₃ = ·; ∆₂₃ =-( 2·(-1) - 1·3) =2 + 3 = 5[pic 33][pic 34]

А₃₁ = ·; ∆₃₁ = 1·0 - 2·(-6) = 12[pic 35][pic 36]

А₃₂ = ·; ∆₃₂ = -(0·(-1) - 2·1) = 2[pic 37][pic 38]

А₃₃ = ·; ∆₃₃ = (-1)·(-6) - 1·1 = 6 – 1 = 5[pic 39][pic 40]

Аᵀij = [pic 41]

А־¹ = · = [pic 42][pic 43][pic 44]

E = A·A-1 = ·· = = · = · = [pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

= [pic 53]

Ответ: А־¹ = ; A·A-1 = Е, где Е – единичная система.[pic 54]

27.

Дано:
[pic 55]

Решение:

 =  = 1·(-1)·(-1) + 3·6·4 + 4·2·2 - 4·(-1)·4 - 2·6·1 – (-1)·2·3 = 1 + 72 + 16 + 16 – 12 + 6 = 99[pic 56][pic 57]

∆₁ =  = 8·(-1)·(-1) + 3·6·5 + 4·7·2 - 5·(-1)·4 - 2·6·8 – (-1)·7·3 = 8 + 90 + 56 + 20 – 96 + 21 = 99[pic 58]

∆₂ =  = 1·7·(-1) + 8·6·4 + 4·2·5 - 4·7·4 - 5·6·1 – (-1)·2·8 = -7 + 192 + 40 - 112 - 30 + 16 = 99[pic 59]

∆₃ =  =  1·(-1)·5 + 3·7·4 + 8·2·2 - 4·(-1)·8 - 2·7·1 - 5·2·3 = -5 + 84 + 32 + 32 – 14 – 30 = 99[pic 60]

x =  =  = 1[pic 61][pic 62]

y =  =  = 1 [pic 63][pic 64]

z =  =  = 1
Проверка:
 [pic 65][pic 66][pic 67]

Ответ: x = 1; y = 1; z = 1.
37.

Дано:
А(2;0), В(1;-2), С(-5;6)

Построить: 𝛥АВС

Найти:
1) S𝛥ABC;
2) уравнения сторон треугольника ABC;
3) длину и уравнение высоты, опущенной из вершины A;
4) координаты точки М пересечения медиан.

Решение:[pic 68]

[pic 69]

1) S𝛥ABC = · = · =· =[pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75]

=·=· = 10[pic 76][pic 77][pic 78][pic 79]

2) Уравнение прямой:

 = .
Уравнение прямой АВ:[pic 80][pic 81]

 = ;
 = ;
y = 2х-4;
у-2х+4 = 0.
Уравнение прямой АС:[pic 82][pic 83][pic 84][pic 85]

 = ;
 = ;
7y+6х-12 = 0.
Уравнение прямой ВС:[pic 86][pic 87][pic 88][pic 89]

 = ;
 = ;[pic 90][pic 91][pic 92][pic 93]

3y+4x+2 = 0.

3) Уравнение высоты через вершину:
 = .
Уравнение высоты (h) через вершину А:
 = ;
4у-3х+6 = 0.[pic 94][pic 95][pic 96][pic 97]

Длина (d) высоты ∆АВС, проведенной их вершины А:

Расстояние d от точки М₁(х₁;у₁) до прямой Ах + Ву + С = 0 равно абсолютному значению величины:
d = .
Расстояние между точкой А(2;0) и прямой ВС  3у+4х+2 = 0
d = ;
d =  = 2.
4) N – середина стороны ВС.
хN =   =  = -2
yN =  =  = 2[pic 98][pic 99][pic 100][pic 101][pic 102][pic 103][pic 104]