Контрольная работа по "Высшей математике"

Задание 2

Применяя  таблицы истинности, доказать или опровергнуть:

2.1. тождественную истинность формулы

[pic 1].

2.2.  равносильность формулы [pic 2].

Решение.

2.1.  Построим таблицу истинности данной функции:

Мы видим, что на каждом из наборов (x,y,z) значение функции f равно 1, следовательно, исходная формула тождественно истинна.

2.2. Построим таблицы истинности функций [pic 9]:

Мы видим, что на каждом из наборов (x,y) значения функций [pic 13]  совпадают, следовательно, исходная формула равносильна, то есть, [pic 14].

Ответ: а) формула тождественно истинная, б) формула равносильна.

Задание 3

С помощью равносильных преобразований:

3.1.упростить формулу: [pic 15];

3.2. доказать тождественную истинность формулы

[pic 16].

3.3. доказать соотношение  [pic 17].

Решение.

3.1. Воспользуемся следующими равносильностями:

1. [pic 18]
2. [pic 19]
3. [pic 20]
4. [pic 21]
5. [pic 22]
6. [pic 23]

Имеем:

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

3.2. Докажем тождественную истинность формулы 

[pic 29].

Воспользуемся следующими равносильностями:

1. [pic 30]
2. [pic 31]
3. [pic 32]
4. [pic 33]
5. [pic 34]
6. [pic 35]
7. [pic 36]

Имеем:

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

[pic 40]

[pic 41].

Итак, мы доказали тождественную истинность формулы [pic 42].

3.3. Докажем соотношение [pic 43].

Воспользуемся следующими равносильностями:

1. [pic 44]
2. [pic 45]
3. [pic 46]

Имеем:

[pic 47].

[pic 48]

Поскольку [pic 49] и [pic 50], то [pic 51]. Что и требовалось доказать.

Ответ: 3.1. [pic 52]; 3.2. формула тождественно истинная;

3.3. формула равносильна.

Задание 2

Применяя  таблицы истинности, доказать или опровергнуть:

2.1. тождественную истинность формулы