Контрольная работа по "Высшей математике"
Автор: Micel • Июнь 5, 2021 • Контрольная работа • 723 Слов (3 Страниц) • 250 Просмотры
Задание 1.
Упростить и вычислить
[pic 1]
Решение:
Разложим данный определитель по элементам третьего столбца (т. к. третий столбец содержит наибольшее количество нулей):
[pic 2]
Ответ: -108
Задание 2.
Решить систему методом Камера и Гаусса
[pic 3]
Решение:
а) Решим систему методом Камера
[pic 4]
[pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
[pic 8]
[pic 9]
[pic 10]
Решение системы:
[pic 11]
б) Решим систему методом Гаусса
[pic 12]
Составим расширенную матрицу данной системы и приведем ее к ступенчатому виду:
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
Вернемся к системе уравнений, соответствующей последней матрице:
[pic 16]
Решение системы:
[pic 17]
Решение системы по формулам Крамера и методом Гаусса одинаковые.
Ответ: :
[pic 18]
Задание 3.Для треугольника с вершинами А(7; 1), В(-5; -4), С(-3; -1)
Требуется найти:
1) Длину стороны ВС;
2) Уравнение линии ВС;
3) Уравнение высоты, проведенной из точки А;
4) Величину угла В;
5) Проекция вектора АС на вектор АB;
6) Систему неравенств, определяющую треугольник АВС.
Сделать чертеж по координатам точек.
Решение:
Найдем координаты векторов [pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
[pic 22]
- Длину стороны ВС находим как длину вектора [pic 23]
[pic 24]
2) Уравнение линии ВС найдем по формуле уравнения прямой, проходящей через две точки: BС
[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
3) Уравнение высоты, проведенной из точки А
Высота АH – это прямая, перпендикулярная прямой ВС , проходящая через точку А.
Уравнение прямой ВС
[pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
[pic 32]
Угловой коэффициент прямой ВС равен , поэтому угловой коэффициент перпендикуляра АH будет равен [pic 33][pic 34]
Уравнение перпендикуляра найдем по формуле:
[pic 35]
[pic 36]
[pic 37]
[pic 38]
4) Найдем величину косинуса угла В
[pic 39]
[pic 40]
5) Проекция вектора АС на вектор АB; можно найти по формуле:
[pic 41]
6) Система неравенств, определяющую треугольник АВС.
Находим уравнения сторон треугольника
Уравнение ВС
[pic 42]
Уравнение AС
[pic 43]
[pic 44]
[pic 45]
Уравнение AB
[pic 46]
[pic 47]
[pic 48]
Составим систему линейных неравенств, определяющих треугольник. Для определения знаков неравенств в левую часть каждого из уравнений сторон подставим координаты противоположной вершины, которая гарантированно принадлежит соответствующей полуплоскости:
– точку C(-3;-1) в уравнение AB: -3⋅5+12⋅1-23=-26<0,
– точку B(-5; -4) в уравнение AC: -5+5⋅4-2=13>0,
– точку A(7; 1) в уравнение BC :3⋅7-2⋅1+7=26>0.
Итак, запишем искомую систему неравенств:
[pic 49]
[pic 50][pic 51]
Ответ:
1) Длину стороны ВС=[pic 52]
2) Уравнение линии ВС : [pic 53]
3) Уравнение высоты, проведенной из точки А: [pic 54]
4) Величина угла [pic 55]
5) Проекция вектора АС на вектор АB [pic 56]
6) Систему неравенств, определяющую треугольник АВС.
[pic 57]
Задание 4.
Вычислите пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления.
А) [pic 58]
Б) [pic 59]
В) [pic 60]
Г) [pic 61]
Д) [pic 62]
Решение:
А) [pic 63]
Б) [pic 64]
В) [pic 65]
при подстановке вместо переменной х ее предельного значения -1 получается неопределенность вида . Для избавления от этого типа неопределенности в нашем случае представим квадратные трехчлены числителя и знаменателя в виде произведения линейных множителей, воспользовавшись известной формулой [pic 66]
[pic 67]
где , – корни квадратного трехчлена . [pic 68][pic 69][pic 70]
...