Контрольная работа по "Высшей математике"
Автор: 74natali • Апрель 4, 2021 • Контрольная работа • 703 Слов (3 Страниц) • 225 Просмотры
Контрольная работа
Вариант 4
Задание 1. Графический метод решения задачи линейного программирования
Решить графическим методом задачу линейного программирования.
Z = 2x1 + 2x2 → max
[pic 1]
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Решение:
Геометрический (графический) метод решения задачи состоит в следующем. Строится допустимый многоугольник решений системы неравенств.
Сначала в декартовой системе координат строим прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств:
[pic 2]
Каждое ограничение-неравенство определяет координатную полуплоскость. В зависимости от знака неравенств стрелок укажем требуемые полуплоскости. Для построения прямой [pic 3] из уравнения выразим [pic 4].
Прямая [pic 5] делит плоскость на две полуплоскости, в одной из которых справедливо неравенство [pic 6], а в другой – противоположное ему. Множество решений отдельно взятого линейного неравенства представляет собой полуплоскость.
Для того чтобы проверить, какая из полуплоскостей состоит из решений неравенства [pic 7], следует взять точку из какой-либо полуплоскости и проверить, выполняется ли это равенство в этой точке. Возьмем точку с координатами х1=0, х2=0. Неравенство [pic 8]верное, поэтому данная точка лежит в нужной полуплоскости (рис. 1.1).
[pic 9]
Рис. 1.1. Нахождение нужной полуплоскости
Аналогично строим остальные прямые. Множество точек на плоскости, удовлетворяющих системе ограничений, составляет некоторую выпуклую многоугольную область. Условия неотрицательности переменных X1 ≥ 0 и X2 ≥ 0 приводят к тому, что эта область находится в первой координатной четверти.
В результате пересечения всех полуплоскостей находим многоугольник решений -шестиугольник ОABCDE (рис. 1.2).
[pic 10]
Рис. 1.2. Построение многоугольника решений
Построим линию уровня целевой функции Z = 2x1 + 2x2, и градиент целевой функции [pic 11] Передвигая линию уровня вдоль градиента параллельно самой себе, находим точки экстремума. Точкой минимума будет точка первого касания линии уровня с допустимым многоугольником. Минимум целевой функции достигается в точке О. Точкой максимума – точка отрыва линии уровня от допустимого многоугольника. В нашем случае их бесчисленное множество, так как линия уровня параллельна стороне CD допустимого многоугольника (рис.1.3).
[pic 12]
Рис.1. 3. Линия уровня целевой функции.
Точкой максимума здесь является точка любая точка прямой CD. Возьмем точку D,
ее координаты определяются из следующей системы уравнений: [pic 13]
решая которую, получаем точку максимума D (6;4), Zmax = [pic 14].
Аналогично, можно взять точку С (4;6), Zmax = [pic 15].
Задание 2. Задача оптимального использования ресурсов
Для изготовления трёх видов продукции предприятие использует четыре вида ресурсов, запасы которых ограничены. Также известны затраты каждого вида ресурсов на изготовление единицы продукции и прибыль, получаемая от реализации единицы продукции. Требуется найти такой план производства, чтобы прибыль от реализации продукции была максимальной. Все данные представлены в таблице.
...