Контрольная работа по "Высшей математике"

Задание 1. Выполнить действия над матрицами.

3. Даны матрицы [pic 1], [pic 2],  [pic 3].

Решение.

Решение выполним по действиям:

Находим [pic 4]:

[pic 5].

Находим [pic 6]:

[pic 7]

Находим [pic 8]:

[pic 9].

Получаем [pic 10]:

[pic 11]

Задание 2. Решить систему уравнений тремя методами: матричным методом, методом Крамера, методом Гаусса. Выполнить проверку.

3. [pic 12]

Решение.

1) Для нахождения решения СЛАУ с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме AX=B, где

[pic 13],       [pic 14],        [pic 15].

Решение СЛАУ в матричной форме имеет вид [pic 16], где [pic 17]- матрица, обратная матрице [pic 18]. Найдем матрицу [pic 19] по формуле

[pic 20], где

[pic 21] 

[pic 22]- алгебраическое дополнение к элементу [pic 23].

Находим алгебраические дополнения:

Обратная матрица имеет вид: [pic 33].

Находим решение системы.

[pic 34]

Итак, решение системы: [pic 35].

2) по формулам Крамера

Находим главный определитель системы:

[pic 36]

[pic 37], т.к. главный определитель системы не равен нулю, то система совместна.

Вычислим определители [pic 38], полученные путем замены i-го столбца главного определителя системы столбцом свободных членов:

[pic 39][pic 40]

[pic 41]

Находим решение системы по формулам Крамера

 [pic 42]

Таким образом, решение системы: [pic 43]

3) Метод Гаусса.

По данной системе составим расширенную матрицу и проведем необходимые элементарные преобразования строк:

[pic 44].

Меняем местами первую и третью строки.

Изменяем вторую, третью строки: ко второй строке по элементам прибавляем первую строку, умноженную на (-4), к третьей– первую строку, умноженную на  (-3).

Изменяем третью строку: к третьей строке по элементам прибавляем вторую строку, умноженную на (-2). Делим последнюю строку на 3, а вторую умножаем на (-1).

Последней матрице соответствует система:

[pic 45]

Которая эквивалентна исходной.

Из данной системы следует, что

[pic 46]

Таким образом, решение системы: [pic 47]

Проверка:

[pic 48]

Истина.

Ответ: [pic 49]

Задание 3. Найти вероятность случайного события, используя формулу классической вероятности.

3. Партия изделий (18 штук) содержит 3 бракованных. Наугад берут 6 изделий. Определить вероятность того, что среди них 2 бракованных.

Решение.

Общее число вариантов выбора 6 изделий из 18 равно числу сочетаний из 18 элементов по 6, т.е. [pic 50].

Общее число вариантов выбора 2 бракованных изделий из 3, равно числу сочетаний из 3 элементов по 2, т.е. [pic 51].

Общее число вариантов выбора 4 не бракованных изделий из 18-3=15, равно числу сочетаний из 15 элементов по 4, т.е. [pic 52].

Общее число благоприятных исходов:

[pic 53]

По классическому определению вероятности получаем:

[pic 54]

Ответ: [pic 55].

Задание 4. Используя формулу полной вероятности, найти вероятность события.

3. В двух коробках имеются транзисторы. В первой коробке содержатся 12 транзисторов, из них 2 нестандартных, во второй – 10 транзисторов, из них 1 нестандартный. Наудачу берут 1 транзистор из наугад выбранной коробки. Найти вероятность, что он нестандартный.

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой полной вероятности.

При этом искомое событие А – наугад выбранный транзистор нестандартный  может произойти совместно с одним из событий-гипотез – транзистор из первой коробки(В1), транзистор из первой коробки (B2). Тогда по условию задачи вероятности распределятся следующим образом: