Контрольная работа по "Высшей математике"

Содержание

Задание 1.1                                                                                 3

Задание 1.2                                                                                 5

Задание 1.3                                                                                 9

Задание 1.4                                                                                 12

Задание 1.5                                                                                 15

Задание 1.6                                                                                 20

Задание 1.7                                                                                 21

Задание 1.8                                                                                 24

Задание 1.9                                                                                 27

Задание 1.10                                                                                28

Список литературы                                                                31

Задача №1.1

Даны координаты вершин пирамиды [pic 1](4; 2; 5), [pic 2](0; 7; 2), [pic 3](0; 2; 7), [pic 4](1; 5; 0). Найти площадь грани [pic 5][pic 6][pic 7] и объем пирамиды. Сделать чертеж. Сделать проверку решения в MathCAD.

Решение:

1. Найдем площадь грани [pic 8][pic 9][pic 10]. Грань A1А2А3 является треугольником, следовательно, ее площадь можно найти по формуле

S = [pic 11]

Найдем координаты векторов [pic 12] и [pic 13], вычитая из координат конца координаты начала. Таким образом,

[pic 14],

[pic 15].

Вычислим векторное произведение векторов

[pic 16]

= (10, 20, 20).

Отсюда получим координаты векторного произведения

[pic 17] (10, 20, 20).

а также его длину:

[pic 18].

Таким образом, площадь грани ABC

S = 15 ед. кв.

2. Определим объем пирамиды. Тетраэдр (частный случай пирамиды) A1А2А3А4 построен на векторах[pic 19], [pic 20] и [pic 21]. Объем тетраэдра V можно вычислить через смешанное произведение векторов:

V = [pic 22]

Найдем координаты вектора

[pic 23]

координаты векторов [pic 24], [pic 25] вычислены в предыдущем пункте. Далее получим смешанное произведение векторов

[pic 26].

Таким образом, объем V тетраэдра ABCD равен

V = [pic 27] ед. куб.

3. Сделаем чертеж (рис. 1).

[pic 28]

Рис. 1. Чертеж пирамиды

4. Сделаем проверку решения в MathCAD. Листинг программы MathCAD приведен на рис. 2.

[pic 29]

Рис. 2. Листинг программы MathCAD

Ответ: S = 15 ед. кв.; V = 35/3 ед. куб.

Задача № 1.2

Составить уравнение перпендикуляра, проходящего через середину отрезка АВ, если А(1; 3), В(3; 1). Выполнить чертеж, иллюстрирующий решение. Сделать проверку решения в MathCAD.

Решение:

1. Составим уравнение прямой АВ, если А(1; 3), В(3; 1) по формуле

[pic 30],

[pic 31],

[pic 32],

Откуда

[pic 33].

Угловой коэффициент прямой [pic 34].

2. Определим координаты точки О – середины отрезка АВ по формулам

[pic 35],

[pic 36],

О(2; 2).

Уравнение перпендикулярной прямой зададим формулой

у – [pic 37] = [pic 38]∙(х – [pic 39]),

где x0 = 2, y0 = 2 – координаты точки О. Так как прямые перпендикулярны, то

[pic 40].

Тогда искомое уравнение прямой имеет вид

у – 2 = 1∙(х – 2).

Искомое уравнение прямой:

у = х.