Контрольная работа по "Высшей Математике"

№ 1. (Вариант 15)

Необходимо:

1. вычислить определитель, предварительно обратив в нуль все, кроме одного, элементы какой-нибудь строки (столбца);

2. решить методом Гаусса систему уравнений.

[pic 1]                        [pic 2]

Решение:

1.   Вычислим определитель, предварительно обратив в нуль все, кроме

          одного, элементы какой-нибудь строки (столбца).

Сложим элементы первой строки и соответствующие элементы второй строки. Определитель при этом не изменится. Затем умножим элементы 1-й строки на -1 и прибавим к элементам 3-й строки. Умножим элементы 1-й строки  на -4 и прибавим к элементам 4-й строки. Получим

           [pic 3]

            У нас получились все нули, кроме одного   элемента в 1-м столбце.

            Разложим определитель по 1-му столбцу.

            [pic 4]

                                                                                          [pic 5]

1.     Решим методом Гаусса систему уравнений.

         [pic 6]

          Выпишем расширенную матрицу системы:

          [pic 7]       

         Элементы первой  строки умножим на -5, а элементы второй строки            

         умножим на 2 и затем сложим соответствующие элементы первой и второй

        строк. Потом элементы первой  строки умножим на -3 и прибавим к

        элементам третьей строки.  Получим матрицу

         [pic 8]

        Элементы 2второй строки умножим на -2 и прибавим к элементам третьей

       строки. Получим матрицу

         [pic 9]

        Получили ступенчатую матрицу. Число ненулевых строк матрицы

        коэффициентов равно числу ненулевых строк расширенной матрицы и

        следовательно [pic 10] система совместна. Так как [pic 11] где [pic 12] число

         неизвестных, то система имеет множество  решений.  [pic 13] базисные

         переменные,  [pic 14] свободная переменная.

        По полученной расширенной матрице запишем систему уравнений, и

         решим методом  Гаусса:

        [pic 15]

       Осуществляя обратный ход метода Гаусса, находим:

       [pic 16] 

                           Ответ:   [pic 17]  [pic 18] любое.

№ 2. (Вариант 25)

Даны точка  и вектор . Необходимо:[pic 19][pic 20]

1. Записать уравнение прямой , проходящей через точку A, параллельно [pic 21]

вектору N;

1. Записать уравнение прямой  L, проходящей через точку A,

перпендикулярно N;

3.       Определить угол между прямыми  и L.[pic 22]

          Даны: точка A(-1, 1) и вектор N(1,-1).

Решение:

1.  Запишем уравнение прямой , проходящей через точку A, параллельно [pic 23]

           вектору N.  

   Вектор, параллельный прямой, называют направляющим вектором  

   прямой.

   Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку А(),   с   [pic 24]

   направляющим  вектором [pic 25]   будет таким

   [pic 26] 

    Подставим координаты точки и вектора  в формулу, получим    

    [pic 27]   

     Окончательно имеем  [pic 28]

1. Записать уравнение прямой  L, проходящей через точку A,

          перпендикулярно N

   Вектор, перпендикулярный прямой, называют вектором  нормали  прямой.

  Общее уравнение прямой, проходящей через точку   А(),   с вектором               [pic 29]