Контрольная работа по "Высшей математике"

1.Исследовать на сходимость ряда с положительными членами.

[pic 1].

        Решение:

[pic 2].

        Сравним заданный ряд с рядом: [pic 3]. Находим предел отношений двух рядов.

[pic 4]

        Предел отношений не равен нулю или бесконечности, а, следовательно, ряды ведут себя одинаково, либо одновременно расходятся, либо сходятся.  Ряд [pic 5] - гармонический, а следовательно, расходится. В соответствии с предельным признаком сравнения, исходный ряд также расходится.

        Ответ: расходится.

2.Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакопеременного ряда [pic 6].

Решение:

Заметим [pic 7]. Исходный ряд можем переписать как:

[pic 8].

        Проверяем необходимое условие сходимости:

[pic 9],

        Необходимо условие сходимости выполнено. Следовательно, ряд сходится, установим характер сходимости.

        Проверяем условие признака Лейбница.

1) ряд чередующийся с  [pic 10];

2) члены убывают по абсолютной величине:

[pic 11].

Исследуем на сходимость по признаку Даламбера ряд, составленный из абсолютных значений его членов:

[pic 12]

Следовательно, ряд, абсолютно сходится.

        Ответ: абсолютно сходится.

3. Найти область сходимости степенного ряда  [pic 13].

Решение:

        Используем признак Даламбера:

[pic 14]; [pic 15] и

[pic 16]

        Ряд сходится, когда полученный предел меньше единицы, т.е.

[pic 17];

Интервал сходимости: [pic 18]

        Границы двух найденных интервалов исследуем особо.

При [pic 19] получим знакочередующийся числовой ряд с общим членом [pic 20].

[pic 21] - не выполняется необходимое условие сходимости, следовательно, в точке x=-9 ряд расходится.

        При  [pic 22] получаем ряд [pic 23], который также расходится, как было установлено выше.

        Ответ: [pic 24]

4. Разложить по степеням (x+2) функцию [pic 25].

        Решение:

Раскладываем [pic 26].

[pic 27], [pic 28];

[pic 29], [pic 30];

[pic 31], [pic 32];

[pic 33], [pic 34].

[pic 35]

        Ответ: [pic 36]

5.Вычислить частные производные [pic 37] [pic 38]

        Решение:

[pic 39]

[pic 40]

6.Найти производные второго порядка  [pic 41] функции [pic 42].

        Решение:

[pic 43]

[pic 44];

[pic 45];

[pic 46].

7.В точке (-2;2) найти gradz и производную в направлении вектора (3;1), если [pic 47].

Решение:

Составляем градиент функции. Получим:

[pic 48]; [pic 49].

        Находим значения частных производных в точке [pic 50]:

[pic 51]; [pic 52].

Следовательно [pic 53].

        Производная функции z(x;y) по направлению вектора [pic 54]:

[pic 55], где [pic 56], [pic 57] – направляющие косинусы данного направления. Находим направляющие косинусы:

[pic 58]; [pic 59].

[pic 60].

        Ответ: [pic 61];[pic 62].

8.Найти частные производные [pic 63] и [pic 64] неявно заданной функции.