Контрольная работа по "Высшей математике"

Вариант 3

Задание 1. Найти предел функции:

a)

[pic 1]

при: 1)  2) , 3) [pic 2][pic 3][pic 4]

1. [pic 5]

[pic 6]

1. [pic 7]

[pic 8]

1. [pic 9]

[pic 10]

Для того чтобы избавиться от неопределенности вида  и найти предел функции, разделим числитель и знаменатель дроби на  (выбираем наибольшую степень):[pic 11][pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

b)

[pic 15]

Для того чтобы избавиться от неопределенности вида  и найти предел функции, помножим числитель и знаменатель дроби на  (выражение, сопряженное к числителю):[pic 16][pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

c)

б)
[pic 22]

Преобразуем выражение под знаком предела, используя свойство тригонометрических функций  и . Получим:[pic 23][pic 24]

 [pic 25]

[pic 26]

Согласно таблице эквивалентных бесконечно малых функций, получим предел (пользуемся тем, что  ):[pic 27]

[pic 28]

d)

[pic 29]

Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы для его вычисления можно было использовать второй замечательный предел:

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

Задание 2. Найти дифференциал [pic 33]

[pic 34]

Вычислим производную функции:

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

Дифференциал функции:

[pic 38]

Задание 3. Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

[pic 39]

Для вычисления приближенного значения функции в точке будем использовать следующую  формулу: , где  Пусть  (тогдаПолучим:[pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

Приближенное значение функции:

[pic 47]

Задание 4. Найти производную:

a)

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

b)

[pic 52]

[pic 53]

Для вычисления производных такого вида (от степенно-показательной функции) применяется следующая формула: