Контрольная работа по "Высшей математике"

Содержание

Задание 1……………………………………………………………………3

Задание 2……………………………………………………………………5

Задание 3……………………………………………………………………6

Задание 4……………………………………………………………………6

Задание 5……………………………………………………………………8

Задание 1

Найти неопределённые интегралы, результаты интегрирования проверить дифференцированием

2.1.1. а) [pic 1]

Наименьшее общее кратное чисел 3,1,2 равно 6. Поэтому делаем замену x = t6. Тогда dx = 6*t^5*dt и:

[pic 2]

Упростим дробное выражение:

[pic 3]

Это табличный интеграл:

[pic 4]

Подставляя вместо t=(x)1/6, получаем:

[pic 5]

б) [pic 6]

[pic 7]

Это табличный интеграл:

[pic 8]

в) [pic 9]

[pic 10]

Формула интегрирования по частям:

[pic 11]

г) [pic 12]   

Выражение 2*x подведем под знак дифференциала, т.е.:

2·x = d(x2), t=x2

Тогда исходный интеграл можно записать так:

[pic 13]

[pic 14]

Это табличный интеграл:

[pic 15]

Чтобы записать окончательный ответ, осталось вместо x подставить x^2.

[pic 16]

д)[pic 17]

[pic 18]

е) [pic 19]

Формула интегрирования по частям:

[pic 20]

Положим

U=x+4

dV=sin(2·x) dx

Тогда:

dU = dx

[pic 21]

Поэтому:

[pic 22] = [pic 23] = [pic 24]

Находим интеграл

[pic 25]

Ответ:

[pic 26]

Или

[pic 27]

Задание 2

Найти неопределённый интеграл

2.2.1 [pic 28]

Используем метод разложения на простейшие. Разложим функцию на простейшие слагаемые:

[pic 29]

[pic 30]

Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях x, стоящие слева и справа должны совпадать:

3·x-2 = Ax(x-1) + B(x-1) + Cx2

x2: A + C = 0

x: -A + B = 3

1: -B = -2

Решая ее, находим:

A = -1;B = 2;C = 1;

[pic 31]

Вычисляем табличный интеграл:

[pic 32]

Вычисляем табличный интеграл:

[pic 33]

...