Контрольная работа по "Высшей математике"

Контрольная работа 1

Задание 1.09

Вычислить определители.

а) [pic 1]                б) [pic 2]

Решение:

а) [pic 3]

б) Вычислим определитель разложением по элементам первой строки:

[pic 4]

[pic 5].

Задание 1.19

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера. Сделать проверку.

[pic 6]

Решение:

1) Метод Гаусса.

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

[pic 7].

Умножим первую строку на 2 и прибавим результат ко второй строке:

[pic 8]    ⇒     [pic 9].

Вторую строку делим на (–5):

[pic 10].

К первой строке прибавляем результат умножения второй строки на 3:

[pic 11]    ⇒        [pic 12]        ⇒        [pic 13].

Ответ: [pic 14], [pic 15].

Проверка:        [pic 16]    ⇒        [pic 17]

2) Формулы Крамера имеют вид: [pic 18],  [pic 19].

Найдём определитель системы:

[pic 20].

Найдём вспомогательные определители системы [pic 21] и [pic 22]:

[pic 23]

[pic 24]

Тогда,  [pic 25],   [pic 26].

Задание 1.29

Решить систему линейных уравнений тремя методами:

а) по формулам Крамера;

б) с помощью обратной матрицы;

в) методом Гаусса.

[pic 27]

Решение:

Запишем матрицу системы и столбец свободных членов:

[pic 28]                [pic 29]

а) Определители системы:

[pic 30]

[pic 31];

[pic 32];

[pic 33]

[pic 34];

[pic 35]

[pic 36].

Решение по формулам Крамера:

[pic 37],                [pic 38],                [pic 39].

б) Ищем обратную к А матрицу.

Матрица алгебраических дополнений элементов A:

[pic 40].

Обратная матрица:        [pic 41].

Решение системы [pic 42]:        [pic 43].

[pic 44].

в) Метод Гаусса: преобразуем расширенную матрицу:

[pic 45]        ⇒

из 3-ей строки вычитаем 2-ую; к 1-ой строке прибавим 2-ую строку, умноженную на 5

⇒        [pic 46]        ⇒        [pic 47]    ⇒

2-ую строку делим на 12

⇒        [pic 48]

к 1-ой строке прибавим 3-ью, умноженную на 6; к 1-ой строке прибавим 3-ью, умноженную на 33

⇒        [pic 49]          ⇒        [pic 50]    ⇒

первую строку делим на (–52); меняем местами 1-ую и 2-ую строки

⇒        [pic 51]

Обратный ход метода Гаусса (начинаем с нижней строки):

[pic 52],                        [pic 53],                        [pic 54].

Ответ:        [pic 55],        [pic 56],        [pic 57]

Задание 1.39

Исследовать (по теореме Кронеккера-Капелли) совместность и решить систему линейных уравнений.

[pic 58]

Решение:

Преобразуем расширенную матрицу системы:

[pic 59]        ⇒

к 1-ой строке прибавляем 2-ую, помноженную на 3; к 3-ей строке прибавляем 2-ую:

⇒        [pic 60]        ⇒        [pic 61]        ⇒

из 3-ей строки вычитаем 1-ую:

⇒        [pic 62]        ⇒

переставляем местами 1-ую и 2-ую строки:

⇒        [pic 63]        ⇒

к 1-ой строке, помноженной на 2, прибавляем 2-ую:

⇒        [pic 64]        ⇒        [pic 65]

...