Контрольная работа по "Высшей математике"

1.02. Вычислить определители.

а) [pic 3]

б) [pic 4]

1.12 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера. Сделать проверку.

        а) Решение системы уравнений методом Гаусса:

        Перепишем систему уравнений в матричном виде и решим его методом Гаусса

[pic 6]

        От 2-й строки отнимем 1 строку, умноженную на 2

[pic 7]

        2-ю строку делим на -9

[pic 8]

        От 1-й строки отнимем 2 строку, умноженную на 4

[pic 9]

[pic 10]

Сделаем проверку. Подставим полученное решение в уравнение из системы и выполним вычисления:

[pic 11]

        Проверка выполняется.

        Ответ: [pic 12][pic 13]

        б) Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера:

        Воспользуемся формулой для вычисления определителя матрицы 2х2.

[pic 14]

        [pic 15][pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

1.22.         Решить систему линейных уравнений тремя методами:

                 a) по формулам Крамера;

          б) методом Гаусса;

                 в) с помощью обратной матрицы.

а) Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера:

Воспользуемся формулой для вычисления определителя матрицы 3х3.

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

        б) Решение системы уравнений методом Гаусса:

        Перепишем систему уравнений в матричном виде и решим его методом Гаусса

[pic 36]

        1-ю строку делим на 12

[pic 37]

        От 2-й строки отнимем 1 строку, умноженную на 8 и к 3-й строке, добавляем 1 строку, умноженную на 20

[pic 38]

        От 3-й строки отнимем 2 строку, умноженную на 4

[pic 39]

3-ю строку делим на [pic 40]

[pic 41]

От 1-й строки отнимем 3 строку, умноженную на  и к 2-й строке, добавляем 3 строку, умноженную на [pic 42][pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

Сделаем проверку. Подставим полученное решение в уравнение из системы и выполним вычисления:

[pic 46]

Проверка выполняется.

Ответ: [pic 47][pic 48]

в) Решение системы уравнений с помощью обратной матрицы:

[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

 [pic 52]

Найдём обратную матрицу методом алгебраических дополнений.

Найдём детерминант матрицы А:

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно обратная матрица A-1 существует. Для вычисления обратной матрицы найдем дополнительные миноры и алгебраические дополнения матрицы А.

• найдем минор M11 и алгебраическое дополнение A11. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.

[pic 56]

[pic 57]

• найдем минор M12 и алгебраическое дополнение A12. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.

[pic 58]

[pic 59]

• найдем минор M13 и алгебраическое дополнение A13. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 3.

[pic 60]

[pic 61]

• найдем минор M21 и алгебраическое дополнение A21. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1.

[pic 62]

[pic 63]

• найдем минор M22 и алгебраическое дополнение A22. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2.

[pic 64]

[pic 65]

• найдем минор M23 и алгебраическое дополнение A23. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 3.

[pic 66]

[pic 67]

• найдем минор M31 и алгебраическое дополнение A31. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 1.

[pic 68]

[pic 69]

• найдем минор M32 и алгебраическое дополнение A32. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 2.

[pic 70]

[pic 71]

• найдем минор M33 и алгебраическое дополнение A33. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 3.

[pic 72]

[pic 73]

        Выпишем матрицу алгебраических дополнений:

[pic 74]

        Транспонированная матрица алгебраических дополнений:

[pic 75]

        Найдём обратную матрицу:

...