Контрольная работа по "Высшей математике"

9. Дифференциальные уравнения первого порядка

Доказать, что заданная функция y является решением соответствующего дифференциального уравнения:

Дифференциальное уравнение [pic 1]

Решение[pic 2].

Решение:

Найдем производную от заданного решения [pic 3] и подставим функцию и её производную в дифференциальное уравнение [pic 4]:

[pic 5]

[pic 6]

Таким образом, заданная функция  y  не является решением данного дифференциального уравнения.

10. Непосредственный подсчет вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятности.

Брошены 3 монеты. Найти вероятность того, что выпадут два герба.

Решение:

Используем классическое определение вероятности события А:  

[pic 7]

где  m - число элементарных результатов испытания,  благоприятных к появления события А;

n – общее число возможных элементарных результатов испытания.

         Здесь испытание – это подбрасывание трех монет, элементарный результат - это  последовательность из трех элементов {а1, а2 , а3},  где           аі = Г (герб) или Р (решка), выпавшие на  і–й  монете (і = 1,2,3).

Выписываем все возможные последовательности :

{ Г, Г, Г }, { Г, Р, Г}, { Г, Г, Р}, { Г, Р, Р},

{ Р, Р, Р }, { Р, Г, Р}, { Р, Г, Г}, { Р, Р, Г}    

Всего таких последовательностей - 8, то есть n = 8.

Благоприятными будут лишь последовательности, в которых две буквы “Г”. Выписываем их:

 { Г, Р, Г}, { Г, Г, Р}, { Р, Г, Г}, то есть m = 3.

Пусть событие А – “на двух монетах появится “герб”. Тогда      
                            [pic 8]   

Ответ: [pic 9]0,375.

11. Испытания по схеме Бернулли.

Вероятность появления события A в одном испытании равна p. Найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно т раз

n=6 ; p=0,5; m=4

Решение:

Используем формулу Бернулли:

         Если проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью p, то вероятность того, что событие А настанет ровно k  раз, равняется :

                              [pic 10]

  У нас p = 0,5   ⇒  q = 1 – p = 1 – 0,5 = 0,5,  n=6 ; m=4.

                         [pic 11].

Ответ:  вероятность того, что в 6 независимых испытаниях событие A появится ровно 4 раза, равна  [pic 12].

12. Дискретные случайные величины