Контрольная работа по "Высшей математике"

Контрольна робота

"Вища математика"

Зміст

Завдання 1        3

Завдання 2        3

Завдання 3        5

Завдання 4        6

Завдання 5        7

Завдання 6        8

Завдання 7        9

Завдання 8        12

Список використаної літератури        13

Завдання 1

Розв’язати СЛАР методом Крамера

[pic 1]

Рішення.

Знайдемо головний визначник системи

[pic 2]

Далі знайдемо визначники

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

Тоді рішення системи записується у вигляді

[pic 6], [pic 7], [pic 8].

Отже, розв’язок рівняння має вигляд x=1, y=1, z=1.

Завдання 2

Дано координати вершини піраміди ABCD. Знайти:

1. довжину ребра АВ;
2. кут між ребрами АВ і АС;
3. площу ΔАВС;
4. об’єм піраміди ABCD;
5. рівняння площини, що проходить через точки А, С, D;
6. довжину висоти піраміди ВВ1.

А(0;1;2), В(1;3;1), С(-2;5;-3), D(-3;4;4).

Рішення.

Запишемо координати векторів, скориставшись формулою Х=xj-xi, Y=yj-yi, Z=zj-zi :

[pic 9],

[pic 10],

[pic 11],

[pic 12],

[pic 13],

[pic 14].

1. Довжина ребра АВ обчислюється за формулою

[pic 15].

1. Кут між ребрами АВ  та АС є кут між векторами [pic 16] та [pic 17]. Його можна знайти за формулою

[pic 18].

[pic 19].

1. ΔАВС є гранню піраміди. Грань побудована на векторах [pic 20] та [pic 21], тому знайдемо площу через векторний добуток:

[pic 22]

[pic 23].

1. Об’єм піраміди, побудованої на векторах [pic 24], [pic 25], [pic 26] дорівнює

[pic 27]

1. Якщо точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежать на одній прямій, площина, що проходить через них записується рівнянням:

[pic 28]

 Отже, рівняння площини, що проходить через точки A, B, D має вигляд

[pic 29]

Або перепишемо

8(x-0)+15(y-1)-6(z-2)-(-15(x-0)-4(y-1)-12(z-2))=23x+19y+6z-31=0.

1. Висота ВВ1 є відстанню від точки В до площини АСD і визначається за формулою

[pic 30]

Завдання 3

У трикутнику, заданому вершинами А, В, С, знайти:

1. рівняння і довжину медіани АМ, проведеної з вершини А;
2. рівняння і довжину висоти AN, поведеної з вершини А;
3. гострий кут між медіаною АМ та висотою AN.

А(-3;2), В(0;10), С(6;2).

Рішення.

1. Позначимо середину відрізка ВС через М. Тоді координати точки М записуються таким чином:

[pic 31], [pic 32]

Рівняння медіани знайдемо як рівняння прямої, що проходить через дві точки А(-3;2) та М(3;6). Канонічне рівняння прямої

[pic 33] або [pic 34]

або -2х+3у-12=0.

Знайдемо довжину медіани.

[pic 35]

1. Рівняння, що проходить через точку N(хN,yN) і перпендикулярна прямій Ах+Ву+С=0 має напрямний вектор (А;В) і, отже, записується рівнянням

[pic 36].

Рівняння прямої ВС записується у вигляді

[pic 37] або 4х+3у-30=0

Тоді рівняння висоти AN записується у вигляді

[pic 38] або -3х+4у-17=0

Відстань від точки А до прямої ВС визначається за формулою

[pic 39]

1. Кут між медіаною АМ та висотою AN знайдемо як кут між двома прямими

[pic 40]

[pic 41]

Завдання 4

Вказати тип кривої та побудувати її