Контрольная работа по "Высшей математике"

Министерство образования республики Беларусь

Учреждение образования

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»

Специальность Инфокоммуникационные технологии (сети инфокоммуникаций)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

                   По курсу       "Высшая математика"

Контрольная работа № 6

                                                     Вариант №4

Выполнил студент гр.

Минск, 2017

Задание 1 (264)

Вычислить криволинейный интеграл     от точки А(1;2) до точки В (3;5) вдоль ломаной линии, состоящей из отрезков прямых x=1, y=5.                                                       Решение:[pic 1][pic 2]

Интеграл по ломаной АСВ вычислим , как сумму интегралов по её звеньям:

 [pic 3]

 ;[pic 4]

1. На отрезке АС x=1  dx=0 , y изменяется от 2 до 5. Следовательно:[pic 5]

     [pic 6]

           [pic 7]

   :     [pic 8][pic 9]

 [pic 10]

 [pic 11][pic 12]

3) Вычисляем:

42+18;[pic 13]

Ответ: ;[pic 14][pic 15][pic 16]

Задание 2 (274)

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Данное тело и его проекцию на плоскость хОу изобразить на чертежах:  z = 0, , 2x – y= 0,  x+y=9.[pic 17]

Решение:

Уравнение вида y=2x задаёт плоскость, проходящую через ось OZ.

 z=0 уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости ХOY  и совпадает с ней.

1) Рассмотрим  поверхности , которые параллельны оси OZ. Уравнения таких поверхностей не содержат в явном виде переменную «зет»:

– уравнение y=2x  задаёт координатную плоскость , проходящую через ось OZ.
– уравнение y=9-x  задаёт плоскость, проходящую через «одноимённую» «плоскую» прямую параллельно оси OZ.

Но две прямые y=2x  и  y=9-x   не задают ограниченную проекцию. Поэтому решим простейшую систему:

 [pic 18]

Подставим   во второе уравнение:  x=0, получена прямая, лежащая в плоскости XOY, совпадающая с осью OY .[pic 19]

Изобразим проекцию тела на плоскость XOY:

[pic 20]

Выполним чертеж:

[pic 21]

Порядок обхода тела:

 [pic 22]

;[pic 23]

 [pic 24]

Перейдём к повторным интегралам:

V[pic 25]

1. Решать начинаем с «зетового» интеграла. Используем формулу Ньютона-Лейбница:

 [pic 26]

Подставляем результат в «игрековый» интеграл:

V; [pic 27]

1. -const. [pic 28][pic 29][pic 30]
2. = =3*27   [pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]

Ответ: V  [pic 35][pic 36]

Задание 3 (284)

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных  координатах площадь фигуры, ограниченной  кривой, заданной уравнением в декартовых координатах. Параметр а  положителен. 

[pic 37]

Решение:

Изобразим фигуру   на  схематическом чертеже полагая ,что а=1:

[pic 38]

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла, используя полярную систему координат:
[pic 39]

По формулам перехода x=r*cos, y=r*sin[pic 40][pic 41]

= [pic 42][pic 43]

 [pic 44]

  r = ;[pic 45][pic 46][pic 47]

Фигура симметрична относительно  осeй ОХ и ОY.

 [pic 48]

1. ;[pic 49]
2. ==2[pic 50][pic 51][pic 52]

Ответ: 6[pic 53][pic 54]

Задание 4(294)

Даны векторное поле    и плоскость P:Ax+By+Cz+D=0; , которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Требуется вычислить:[pic 55]