Контрольная работа по "Высшей математике"

Индивидуальное задание 1

ЗАДАНИЕ №1. Даны матрицы A, B, C. Найти матрицу D по указанным соотношениям.

1.15 D=A(3C-B) . A= , B= , C= .

Решение:

D=A(3C-B)=(■(10&3@0&4@1&2))⋅(3⋅(■(2@3))-(■(2@2)))=(■(10&3@0&4@1&2))⋅((■(3⋅2@3⋅3))-(■(2@2)))=(■(10&3@0&4@1&2))⋅((■(6@9))-(■(2@2)))=

=(■(10&3@0&4@1&2))⋅(■(6-2@9-2))=(■(10&3@0&4@1&2))⋅(■(4@7))=(■(10⋅4+3⋅7@0⋅4+4⋅7@1⋅4+2⋅7))=(■(10⋅4+3⋅7@0⋅4+4⋅7@1⋅4+2⋅7))=(■(40+21@0+28@4+14))=(■(61@28@18))

ЗАДАНИЕ №2. Вычислить определитель методом понижения порядка

2.15.

Решение:

ЗАДАНИЕ №3. Решить СЛУ:

матричным способом;

по формулам Крамера;

3.15.

Решение:

а) матричный способ:

-3 3 3

А= 4 4 0 = -24+0+12+12-24-0=-24

-1 1 2

А11= 4 0 = 8, А21= - 3 3 = -3, А31= 3 3 = -12,

1 2 1 2 4 0

А12= - 4 0 = -8, А22= -3 3 = -3, А32= - -3 3 = 12,

-1 2 -1 2 4 0

А13= 4 4 = 8, А23= - -3 3 = 0, А33= -3 3 = -24.

-1 1 -1 1 4 4

Получим обратную матрицу:

Ответ: х1=11/12, х2=-5/12, х3=5/3.

б) метод Крамера:

-3 3 3

= А= 4 4 0 = -24+0+12+12-24-0=-24

-1 1 2

1 3 3

х= 2 4 0 = 8+0+6-24-12-0=-22

2 1 2

-3 1 3

х= 4 2 0 = -12+0+24+6-0-8=10

-1 2 2

-3 3 1

х= 4 4 2 = -24-6+4+4-24+6=-40

-1 1 2

Определяем:

х1=х/

х2=х/

х3=х/

Ответ: х1=11/12, х2=-5/12, х3=5/3.

ЗАДАНИЕ №4. Исследовать систему на совместность и, если она совместна, решить её методом Гаусса.

4.15.

Решение:

Сравним ранги основной и расширенной матриц:

Составим и приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу системы.

1 шаг: поменяем первую и третью строки местами, ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-3), к третьей строке прибавим первую, умноженную на (-2);

2 шаг: из элементов третьей строки вычтем элементы второй строки;

Получили матрицу ступенчатого вида, имеющую ранг 3.

Аналогичные преобразования выполним с основной матрицей системы:

Ее ранг также равен 3. Т.о., поскольку ранги основной и расширенной матриц равны, то система совместна, следовательно, она имеет решение, которое можно найти из преобразованной расширенной матрицы:

1 шаг: поделим третью строку на 4, к первой строке прибавим третью, умноженную на (-2), ко второй прибавим третью, умноженную на 7;

2 шаг: поделим вторую строку на (-13), к первой прибавим вторую, умноженную на (-5);

Так получаем:

- общее решение

ЗАДАНИЕ №5. Дано уравнение кривой второго порядка. Найти длины полуосей, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы). Построить данную кривую.

5.15. -x2+4y2=4

Решение:

a=2 - мнимая полуось

b=1 - действительная полуось

A1 ,A2 - вершины

c2=22+12=5, тогда

F1(0; ), F2(0;-