Контрольная работа по "Высшая математика"

Вариант 10

Задача 1. Вычислить двойной интеграл [pic 1] от функции [pic 2] по заданной области [pic 3]:

[pic 4], [pic 5]

        Расставим пределы интегрирования с внешним интегрированием по [pic 6] и получим:

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Задача 2. Вычислить объём тела [pic 10] с помощью кратного интеграла, используя подходящую замену переменных:

[pic 11]

Данное тело ограничено параболоидом [pic 12] с вершиной в  точке [pic 13] и осью симметрии [pic 14], чаша параболоида направлена вниз, и плоскостью [pic 15]. Сечение параболоида плоскостью [pic 16] представляет собой окружность [pic 17]

[pic 18]

        Объем тела вычислим по формуле [pic 19].

Поскольку данное тело ограничено параболоидом, его проекцией на плоскость [pic 20] является круг [pic 21] с центром в [pic 22] и радиусом 1, то для вычисления тройного интеграла перейдем к цилиндрической системе координат. Используем формулы перехода [pic 23], [pic 24], [pic 25]. 

        Тогда получим:

[pic 26];

[pic 27];

[pic 28].

Поскольку проекция данного тела на плоскость [pic 29] круг с центром в начале координат, то [pic 30].

Следовательно, в цилиндрических координатах данное тело описывается неравенствами: [pic 31], [pic 32], [pic 33].

Таким образом, записывая интеграл в цилиндрических координатах и учитывая якобиан перехода [pic 34], получим:

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

Задача 3. Вычислить криволинейный интеграл I рода по плоской кривой [pic 38]: [pic 39], [pic 40] – окружность [pic 41].  

        Запишем уравнение окружности [pic 42] в параметрическом виде: [pic 43], [pic 44]. Тогда для вычисления криволинейного интеграла воспользуемся формулой:

[pic 45]

        Найдем производные: [pic 46]. Тогда получим:

[pic 47]

[pic 48]

Задача 4. Вычислить криволинейный интеграл по меньшей дуге единичной окружности, заключенной между точками [pic 49] и [pic 50] и ориентированной в направлении от точки [pic 51] к точке [pic 52]:

[pic 53], [pic 54], [pic 55]

Запишем уравнение единичной окружности в параметрическом виде: [pic 56], [pic 57].

[pic 58]

Для вычисления криволинейного интеграла второго рода применим формулу

[pic 59]

Найдем производные: [pic 60], [pic 61].

        Найдем значения параметра [pic 62], соответствующие точкам [pic 63] и [pic 64]:

[pic 65];

[pic 66].

        Следовательно:

[pic 67]

[pic 68]

[pic 69]

[pic 70]

Задача 5. Вычислить криволинейный интеграл по окружности [pic 71], ориентированной по часовой стрелке:

[pic 72]

Запишем уравнение окружности [pic 73] в параметрическом виде: [pic 74], [pic 75]. Тогда для вычисления криволинейного интеграла воспользуемся формулой:

[pic 76]

Поскольку ориентация по часовой стрелке, то параметр [pic 77] из меняется от [pic 78] до [pic 79].

Найдем производные: [pic 80], [pic 81]. Тогда получим:

[pic 82]

[pic 83]

[pic 84]

[pic 85]

[pic 86]

[pic 87]

Задача 6. Вычислить поверхностный интеграл 2 рода по внутренней стороне сферы [pic 88] 

[pic 89]

По формуле Остроградского-Гаусса

[pic 90]

получим: