Контрольная работа по "Векторной алгебре"

Контрольная работа No.2

Вариант 10

1(С83.РП). В прямоугольном треугольнике даны: вершина острого угла А(7; -2) и уравнение 3х – 5у + 15 = 0 одного из катетов. Запишите общее уравнение другого катета.

Решение: Для того, чтобы составить общее уравнение прямой для второго катета, воспользуемся формулой

l(x – x0) + m(y – y0) = 0

где точка (x0; у0) – точка, через которую проходит искомая прямая
                (l; m) – направляющий вектор

Т.к. катеты в прямоугольном треугольнике Ʇ, то вектор нормали (N) Ʇ известному катету:

3х – 5у + 15 = 0
Ax – By + C = 0
A = 3; B = -5; C = 15

N = (A; B)
N = (3; -5)

Направляющий вектор (Р) ‖ известному катету, а т.к. искомый катет Ʇ известному, соответственно направляющий вектор будет Ʇ искомому. Следовательно, мы можем принять направляющий вектор известного катета как вектор нормали искомого катета:

P = (-B; A)
P = (5; 3)

В итоге,

l = 5; m = 3
x0 = 7; y0 = -2

l(x – x0) + m(y – y0) = 0
5(x – 7) + 3(y + 2) = 0
5x + 3y – 29 = 0

Ответ: 5x + 3y – 29 = 0 – общее уравнение второго катета

2(П64.РП). Высота, проведенная из вершины А(4; 4) треугольника АВС, пересекает прямую ВС в точке D(1, 1). x + 2y + 1 = 0 – уравнение высоты, опущенной из вершины В. Определить координаты x0, у0 вершины С.

Решение: 1. Найдем общее уравнение прямой ВС.

AD(xD – xA; yD – yA) – нормаль к ВС
AD(1 – 4; 1 – 4) = AD(-3; -3)

т. D(1, 1) – лежит на ВС

Тогда уравнение прямой ВС будет выглядеть так:

- 3x – 3y – ((-3)*1 + (-3)*1) = 0
- 3x – 3y + 6 = 0
- x – y + 2 = 0
x + y – 2 = 0

2. Найдем общее уравнение прямой АС.

x + 2y + 1 = 0 – уравнение высоты, опущенной из вершины В

 = (1, 2) – вектор нормали к прямой АС
N = (2, -1) – нормаль к АС

т. А(4; 4) – лежит на АС

Тогда уравнение прямой АС будет выглядеть так:

2x – y – (2*4 + (-1)*4) = 0
2x – y – 4 = 0

3. Найдем координаты вершины С.

Точка С является пересечением прямых АС и ВС. Поэтому составляем систему уравнений, состоящую из уравнений этих прямых:

[pic 1][pic 2]

3x – 6 = 0
x = 2

x + y – 2 = 0
2 + y – 2 = 0
y = 0

Ответ: С(2; 0)

3(ПА5.БЛ). Запишите общее уравнение плоскости, которая проходит через точку М0(1; 2; 3) и ось OY.

Решение: Искомая плоскость ‖ оси OY, т.е. ‖ вектору j(0; 1; 0) и вектору ОМ0(1; 2; 3), где О(0, 0, 0) – начало координат.
Тогда

[pic 3]

(x – 1)*(-3) – (y – 2)*0 + (z – 3)*1 = 0
- 3x + 3 + z – 3 = 0
-3x + z = 0
3x – z = 0

Ответ: 3x – z = 0 – общее уравнение плоскости

4(3А2). Найдите значение параметра m в уравнении прямой  , если известно, что эта прямая ‖ плоскости x + 4y + 3z + 5 = 0.[pic 4]

Решение: Т.к. прямая задана вышеуказанным уравнением, то

N = (0; m; 18)
N1 = (1; 0; 0)

C = [N; N1] =  = 0
i*0 – j*18 + k*m = 0
- 18j + mk = 0

K(0; -18; m)

Т.к. прямая ‖ плоскости по условию, соответственно используем условие параллельности прямой и плоскости:

Ax + By + Cz = 0


1*0 + 4*(-18) + 3m = 0
3m = 72
m = 24[pic 5]

Ответ: m = 24

5(983). Найдите длину отрезка, отсекаемого от оси аппликат плоскостью, проходящей через точки Р1(2; 1; 0), Р2(1; 0; 4) и пересекающей оси ординат и абсцисс в точках А1(0; а; 0), А2(а; 0; 0).