Уравнения эллиптического типа

ФГБОУ ВО

Уфимский государственный авиационный технический университет

Кафедра искусственного интеллекта
и перспективных математических исследований

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе

по дисциплине «Уравнения математической физики»

Уравнения эллиптического типа.

       3953.Б1.О.110100.00      ПЗ       

Уфа 2022

ФГБОУ ВО

Уфимский государственный авиационный технический университет

Кафедра искусственного интеллекта
и перспективных математических исследований

ЗАДАНИЕ

на курсовую работу по дисциплине

«Уравнения математической физики»

Студент Андреев Дмитрий Сергеевич

Консультант Белогрудов Александр Николаевич

1. Тема курсовой работы

Уравнения эллиптического типа.

2. Основное содержание

1. Уравнение эллиптического типа. Первая краевая задача для круга.
2. Решение краевых задач для простейших областей методом разделения переменных.

Дата выдачи задания                                        Дата окончания работы

«____» __________ 2022 г.                                 «____» __________ 2022 г.

Руководитель работы _________________

Содержание

1. Постановка задачи        4

2. Теоретическая часть        5

3. Практическая часть        7

Заключение        11

Список литературы  .        12

1. Постановка задачи

Изучить метод решения первой краевой задачи для круга. Используя полученные знания, решить следующие задачи:
Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга и такую, что , где
 1)
 2)     [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

2. Теоретическая часть

Решение краевых задач для уравнения Лапласа может быть найдено методом разделения переменных в случае некоторых простейших областей (круг, прямоугольник, шар, цилиндр и другие). Получающиеся при этом задачи на собственные значения (задачи Штурма-Лиувилля) приводят к различным классам специальных функций. Рассмотрим задачи Дирихле (внутреннюю и внешнюю) при решении которых используются только тригонометрические функции.

1. Первая краевая задача для круга.

Решим первую краевую задачу для круга.
Найти функцию u , удовлетворяющую уравнению
         внутри круга                                                                            (1)
и граничному условию  на границе круга,
где                                                                        (2)
     Предположим сначала, что функция непрерывна и дифференцируема и решение  непрерывно в замкнутой области.
Введем полярную систему координат  с началом в центре круга. Уравнение (1) в полярных координатах имеет вид:
  [pic 13]                                                          (3)
Будем решать задачу методом разделения переменных, т.е. будем искать частное решение уравнения (1) вида
[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 14][pic 15]