Біртекті емес жылу өткізгіштік теңдеуі

            Біртекті емес жылу өткізгіштік теңдеуі

1.Біртекті емес теңдеуді қарастырамыз:

                               (1)[pic 1]

u=0                                                         (2)[pic 2]

u(0,t)=0,              u(l,t)=0                         (3)

Бұл есептің шешімін қатар түрде іздейтін боламыз.

                (4)[pic 3]

(3) Шекаралық шарттардың қанағаттандыратындығы көрініп түр. f(x,t) функцияны тек қана x-қа тәуелді функция ретінде қарастыра отырып, Фурье қатарына жіктеуге болады деп санайық.

           (5)[pic 4]

       (6)[pic 5]

(4) қатарды (1)теңдеуге қоямыз және (5) ескерсек , онда алатын боламыз.

 sin  [pic 6][pic 7]

Бұдан            [pic 8]

[pic 9]

u(x,t) функциясы үшін бастапқы шартты қолдансақ

[pic 10]

 бастапқы шартты аламыз:[pic 11]

[pic 12]

(8) бастапқы шартымен (7)-ші жай дифференциялдық теңдеуді шеше отырып, табамыз:

[pic 13]

Бұны (4) қатарға апарып қойсақ, онда  (1)-(3)есептің шешімін аламыз.

[pic 14]

Егер бастапқы шарт біртекті болмаса,онда (10) шешімге u(x,t)= бастапқы шартымен және шекаралық шартымен біртекті жылуөткізгіштік теңдеудің шешімін қосу керек [pic 15]

2. Енді бастапқы шарт және шекаралық шарттар біртекті емес жағдайды қарастырамыз, яғни келесі есептің шешімін табу керек.

[pic 16]

u=[pic 17][pic 18]

u(0,t)=              u(l,t)=             [pic 19][pic 20]

Бұл есеп өткен лекциялрда қарастырған есептерге алып келеді расында да, екі функцияның шешімін  қосындысы түрінде іздейміз.

                                    u =       [pic 21]

 мұндағы ϑ  келесі есептің шешімі

[pic 22]

u(0,t)= (t)              u(l,t)=  (t)    [pic 23][pic 24]

ϑ=[pic 25][pic 26]

ал w(x,t) келесі есептің шешімі