Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті теңдеулер. Эйлер теңдеуі

17 Билет

2.  Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті теңдеулер. Эйлер теңдеуі.

1. Біртекті теңдеулер

Сызықты біртекті теңдеудің

                a0 y(n)+ a1 y(n-1)  + …….+ an y =0                                                        (1)

коэффициенттері ai тұрақтылар болса, шешімі , y= ekx  ,        k - тұрақты,

түрінде  табылады. Теңдеуге y = ekx -ті қойсақ,

     a0 kn ekx + a1 kn-1 ekx +……+ an ekx = 0 ,  ekx ≠0 ,  немесе

       a0 kn + a1 kn-1 +… + an-1k + an = 0                                           (2)

алгебралық теңдеуін аламыз.

           Көпмүшелік

                              (2’) [pic 1]

сызықтық біртекті теңдеудің (1) сипаттаушы көпмүшелігі, теңдеу

D(k) = 0 (2) сипаттаушы теңдеуі деп аталады.

Сонымен дифференциалдық  теңдеуді (1) шешу, алгебралық теңдеудің (2)

түбірлерін табуға келтірілді.

    Сипаттамалық теңдеудің (2) əртүрлі n түбірлеріне

 K1 ≠ k2 ≠ …. ≠ kn   тиісті, теңдеудің (1) шешімдері  ek1x  , ek2x  ……, eknx 

сызықты тəуелсіз. Онда теңдеудің (1) жалпы шешімі

[pic 2]

1-мысал. y′′ − 2y′ − 8y = 0.

Шешуі. Сипаттамалық теңдеуінің k2 − 2k – 8 = 0  түбірлері  k1 = −2 ,  

k2 = 4 . Онда жалпы шешімі  y=C1 e-2x + C2 e4x  .

 2. Эйлер теңдеулері. Коэффициенттері ai тұрақтылар .

              a0 xn yn + a1 xn-1 yn-1  +… + an-1 xy’ + an  y = 0                     (4)

түрдегі теңдеулер Эйлер теңдеулері деп аталады, айнымалы  x = et 

(немесе ,  x = −et егер x < 0 ) алмастыруымен, тұрақты коэффициентті

сызықтық біртекті  теңдеуге келтіріледі.

Шындығында                [pic 3]

                                  [pic 4]