Минимизации функции одной переменной

1 Исходные данные

1. Проверить выпуклость функции f(x) на отрезке [a, b]

2. Найти точку минимума с указанной точностью ε (при этом точность по функции и по аргументу полагается равной, ). Сопроводить решение графической интерпретацией. [pic 1]

3. Решить задачу методом Фибоначчи с точностью ε = 0,05. Исходные данные представлены на рисунке 1.1.

4. Оценить трудоемкость метода.

[pic 2]

Рисунок 1.1 – Исходные данные

2 Выполнение работы

Первым шагом проверим выпуклость функции на отрезке [a,b]. Для этого найдем вторую производную от функции :[pic 3]

[pic 4]

Приравняем полученное выражение к нулю и найдем корни уравнения:

[pic 5]

[pic 6]

Построим график функции (рисунок 2.1)

[pic 7]

Рисунок 2.1 – График функции

Согласно графику, функция выпукла на интервале (10; +∞).

Найдем необходимое число вычислений функции. Воспользуемся формулой:

[pic 8]

Найдем последовательность чисел Фибоначчи. Для этого вызовем функцию fibo (приложение A) и получим следующий результат (рисунок 2.1).

[pic 9]

Рисунок 2.1 – Числа Фибоначчи

Для полученного числа «N» выполняется следующее неравенство:

Fibo(6) < N < Fibo(7), т.е 13 < 18 < 21

Следовательно, количество вычислений равно 7.

Найдем длину конечного интервала неопределенности:

[pic 10]

Следующим шагом вызовем функцию «iteration» (приложение A).

Для этого в командном окне пропишем следующее: iteration(a,b,eps,f), где a и b – значения интервала, eps – заданная точность, f – порядковый номер числа Фибоначчи.

        Введем: iteration(0.1, 1, 0.05, 7) и получим следующие вычисленные значения (рисунок 2.2).

[pic 11]

Рисунок 2.2 – Полученные значения первой и второй итераций

        Исходя из рисунка 2.2, были получены значения первой и второй итерации, «iter» и «iter_next» соответственно. Затем, чтобы получить значения 3-й итерации, необходимо в функцию «iteration» подставить полученные во второй итерации значения «a» и «b», а также уменьшить порядковый номер «f» на единицу.

Введем: iteration(0.1, 0.65714, 0.05, 6) и таким образом получим значения 3-й итерации (рисунок 2.3).

[pic 12]

Рисунок 2.3 – Полученные значения 3-й итерации

Для наглядности составим таблицу с полученными значениями на каждой итерации.

        Таблица 2.1

Конечный интервал неопределенности на шаге №7 равен [0.39999; 0.44285], его длина составляет 0.042855 и совпадает с выше-рассчитанным значением «».[pic 13]